Material zur Kreuzmultiplikation mithilfe von Einheitsvektorkomponenten
Das Kreuzprodukt lässt sich direkt berechnen, wenn die Komponenten der Vektoren bekannt sind. Die Vorgehensweise ist dieselbe wie beim Skalarprodukt . Zuerst multiplizieren wir die Einheitsvektoren i , j und k . Das Vektorprodukt gleicher Einheitsvektoren ist null.
i x i = j x j = k x k = 0
Unter Bezugnahme auf die zuvor hergeleitete Vektormultiplikationsgleichung (A x B = AB Sünde θ) und die antikommutative Eigenschaft der Vektormultiplikation (A x B = - B x A)Dann erhalten wir:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Nun drücken wir die Vektoren A und B durch ihre Komponenten aus, zerlegen ihr Produkt und verwenden das Produkt der Einheitsvektoren.
A x B = (Axi + Ayj + Azk) X (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Karena i x i = j x j = k x k = 0 Dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, Also :
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
A y B x ( -k ) + A y B z ( i ) +
AzBx ( j ) + AzBy ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Wenn C = A x B , dann sind die Komponenten von C wie folgt:
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = Ax By – AYBx
