Material zum Archimedischen Gesetz
Haben Sie schon einmal ein Schiff gesehen? Falls nicht, haben Sie bestimmt schon einmal eines im Fernsehen oder im Internet gesehen. Ein Schiff mit sehr großer Masse sinkt nicht, während ein kleiner, leichter Stein sinken kann. Warum ist das so? Die Antwort ist ganz einfach, wenn man die Prinzipien des Auftriebs und des Archimedischen Prinzips versteht.
Im Alltag beobachten wir, dass Gegenstände, die in eine Flüssigkeit eingetaucht werden, wie beispielsweise ein Stein, leichter sind als außerhalb der Flüssigkeit. Es kann schwierig sein, einen Stein von der Erdoberfläche anzuheben, während derselbe Stein vom Grund eines Pools mühelos gehoben werden kann. Dies ist auf die Auftriebskraft zurückzuführen. Auftrieb entsteht durch den unterschiedlichen Flüssigkeitsdruck in verschiedenen Tiefen. Der Flüssigkeitsdruck nimmt mit der Tiefe zu; je tiefer die Flüssigkeit, desto höher der Druck. Wenn ein Gegenstand in eine Flüssigkeit eingetaucht wird, entsteht ein Druckunterschied zwischen der Flüssigkeit über und unter dem Gegenstand. Die Flüssigkeit unterhalb des Gegenstands hat einen höheren Druck als die Flüssigkeit oberhalb des Gegenstands.
Auftrieb
Das Bild zeigt einen Gegenstand, der im Wasser schwimmt. Die Flüssigkeit unterhalb des Gegenstands hat einen höheren Druck als die Flüssigkeit oberhalb des Gegenstands. Dies liegt daran, dass die Flüssigkeit unterhalb des Gegenstands eine größere Tiefe aufweist als die Flüssigkeit oberhalb des Gegenstands (h).2 > h1).
F₂ = Kraft , die die Flüssigkeit auf die Unterseite des Objekts ausübt, F₁ = Kraft, die die Flüssigkeit auf die Oberseite des Objekts ausübt, A = Oberfläche des Objekts
Die Differenz zwischen F₂ und F₁ ist die Gesamtkraft, die das Fluid auf den Körper ausübt – die sogenannte Auftriebskraft. Die Größe der Auftriebskraft beträgt:
F Auftrieb = F 2 − F 1
F Auftrieb = (ρ gh 2 A ) − (ρ gh 1 A)
F float = ρ g A ( h 2 − h 1 )
F Auftrieb = ρ g A h
F Auftrieb = ρ g V
Information :
ρ = Fluiddichte
g = Erdbeschleunigung
V = Volumen des Objekts in der Flüssigkeit
sodass die Gleichung, die die Größe der Auftriebskraft (F Auftrieb) angibt, oben wie folgt geschrieben werden kann:
F float = ρ F g V → m = ρ V
F Auftrieb = m F g
F Auftrieb = w F
m F g = w F = Gewicht der Flüssigkeit, die das gleiche Volumen wie das Volumen des eingetauchten Objekts hat.
Beispiel für die Auftriebskraft
Archimedisches Prinzip
Aus der obigen Gleichung können wir schließen, dass die Auftriebskraft gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit ist und das Volumen der verdrängten Flüssigkeit gleich dem Volumen des in die Flüssigkeit eingetauchten Objekts ist.
Wenn ein Gegenstand in eine Flüssigkeit eingetaucht wird und schwimmt, wobei nur ein Teil des Gegenstands untergetaucht ist, entspricht das Volumen der verdrängten Flüssigkeit dem Volumen des untergetauchten Teils des Gegenstands. Unabhängig von Form und Größe des Gegenstands gilt dies für alle. Dies ist die Erkenntnis von Archimedes (287–212 v. Chr.), die heute als Archimedisches Prinzip bekannt ist.
Das Archimedische Prinzip besagt:
Wenn ein Objekt ganz oder teilweise in eine Flüssigkeit eingetaucht wird, übt die Flüssigkeit eine nach oben gerichtete Kraft (Auftriebskraft) auf das Objekt aus, wobei der Betrag der nach oben gerichteten Kraft (Auftriebskraft) gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit ist.
Die Geschichte des Archimedes
Archimedes, der von 287 bis 212 v. Chr. lebte, wurde von König Hieron II. beauftragt, zu untersuchen, ob die für den König angefertigte Krone aus reinem Gold bestand. Archimedes war zunächst unsicher, ob die Krone aus reinem Gold war oder ob sie andere Metalle enthielt. Das Problem bestand darin, dass die Krone eine unregelmäßige Form hatte und nicht zerstört werden konnte, um festzustellen, ob es sich um reines Gold handelte.
Um festzustellen, ob eine Königskrone aus reinem Gold besteht, wird zunächst ihr spezifisches Gewicht bestimmt und anschließend mit dem spezifischen Gewicht von Gold verglichen. Besteht die Krone aus reinem Gold, so entspricht ihr spezifisches Gewicht dem spezifischen Gewicht von Gold.
Die relative Dichte eines Objekts ist das Verhältnis des Gewichts des Objekts in Luft zum Gewicht von Wasser mit dem gleichen Volumen wie das Objekt. Mathematisch ausgedrückt:
Wie bestimmt man das Gewicht von Wasser, das das gleiche Volumen wie ein Objekt hat?
Nach Archimedes entspricht das Gewicht von Wasser mit dem gleichen Volumen wie das Volumen des Objekts der Größe der Auftriebskraft, die entsteht, wenn das Objekt sinkt (das gesamte Objekt ist in Wasser eingetaucht). Dies entspricht dem Gewichtsverlust des Objekts beim Wiegen in Wasser.
Um das spezifische Gewicht der Krone zu bestimmen, wird sie zunächst an der Luft gewogen (Gewicht der Krone an der Luft). Anschließend wird sie in Wasser gelegt und erneut gewogen, um das Gewicht der verlorenen Krone zu ermitteln.
Sobald die Dichte der Krone ermittelt ist, wird sie mit der Dichte von Gold verglichen. Die Dichte von Gold beträgt 19,3 g/cm³. Stimmt die Dichte der Krone mit der Dichte von Gold überein, besteht die Krone aus reinem Gold. Besteht die Krone jedoch nicht aus reinem Gold, weicht ihre Dichte von der von Gold ab.
Warum sinken Schiffe nicht?
Ist die Dichte eines Objekts geringer als die von Wasser, schwimmt es. Ist die Dichte eines Objekts hingegen größer als die von Wasser, sinkt es. Die meisten Schiffe bestehen aus Eisen und Stahl. Die Dichte von Eisen und Stahl beträgt 7,8 × 10³ kg /m³ , die von Wasser hingegen 1,00 × 10³ kg /m³ . Die Dichte von Eisen und Stahl scheint also größer zu sein als die von Wasser. In diesem Fall beträgt die relative Dichte von Eisen und Stahl 7,8. Schiffe aus Eisen und Stahl müssten eigentlich sinken. Warum sinken sie nicht? Die Gesamtdichte des Schiffes ist geringer als die Dichte von Wasser bzw. Meerwasser.
Beispielaufgaben zum Archimedischen Gesetz
Beispielfrage 1:
Ein 40 kg schwerer Stein liegt am Boden eines Pools. Wenn das Volumen des Steins 0,2 m³ beträgt , wie groß ist die minimale Kraft, die zum Anheben des Steins erforderlich ist?
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Masse des Steins (m) = 40 kg
Volumen des Steins (V) = 0,02 m³
Dichte von Wasser = 1000 kg/ m³
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Gefragt: F-Minimum
Antwort:
F Auftrieb = w F
Auftriebskraft F = m F g → m = pV
F Auftrieb = ρ F g V
F Auftrieb = (1000 kg/m 3 )(10 m/s 2 )(0,02 m 3 )
F Auftrieb = 200 kg m/ s²
F Auftrieb = 200 N
Gewicht des Steins (w) = mg
Gewicht des Steins = (40 kg)(10 m/s 2 )
Gewicht des Steins = 400 kg m/ s²
Gewicht des Steins = 400 N
Mindestkraftaufwand zum Anheben eines Steins:
Gewicht des Steins – Auftriebskraft = 400 N – 200 N = 200 Newton.
Beispielfrage 2:
Das Gewicht eines Objekts in Luft beträgt 5000 kg m/s² und in Wasser 4000 kg m/s² . Wenn die Dichte des Objekts 2000 kg/m³ beträgt , wie groß sind dann seine Masse und sein Volumen? g = 10 m/ s²
Diskussion
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Dichte des Objekts = 2000 kg/ m³
Dichte von Wasser = 1000 kg/ m³
Gewicht des Objekts in Luft = 5000 kg m/ s²
Gewicht des Objekts im Wasser = 4000 kg m/ s²
Auftriebskraft (F<sub>Auftrieb</sub>) = Gewicht des Objekts in Luft – Gewicht des Objekts im Wasser
Auftriebskraft F = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
F Auftrieb = 1000 kg m/ s²
F Auftrieb = Gewicht des verdrängten Wassers
Auftriebskraft F = (Masse des Wassers)(g)
F Auftrieb = (Volumen des verdrängten Wassers)(Dichte des Wassers)(g)
Verdrängtes Wasservolumen = Volumen des in Wasser eingetauchten Objekts 😉
Das Volumen des Objekts beträgt also 0,1 m³.
Masse des Objekts = ?
ρ = m / V
m = ρ V
m = ( 2000 kg / m 3 )( 0,1 m 3 )
m = 200 kg
Masse des Objekts = 200 kg
Beispielfrage 3:
Welches Heliumvolumen wird benötigt, um mit einem Ballon eine Last von 500 kg zu heben?
Diskussion
Heliumdichte = 0,1786 kg/ m³
Luftdichte = 1,293 kg/ m³
Auftriebskraft = Gewicht der verdrängten Luft = Gewicht der Last + Gewicht des Heliums
Auftriebskraft = Gewicht der Last + Gewicht des Heliums
Auftriebskraft = (Masse der Last)(g) + (Masse des Heliums)(g)
Auftriebskraft = (Masse der Last + Masse des Heliums)g —- Gleichung 1
Auftriebskraft = Gewicht der verdrängten Luft
Auftriebskraft = (Masse der verdrängten Luft)(g) —- Gleichung 2
Wir kombinieren Gleichung 1 und Gleichung 2:
(Masse der Ladung + Masse des Heliums)(g) = (Masse der verdrängten Luft)(g)
Masse der Ladung + Masse des Heliums = Masse der verdrängten Luft
500 kg + (ρ Helium)(V Helium) = (ρ Luft)( V Luft)
500 kg = (ρ Luft)(V Luft) – (ρ Helium)( V Helium)
Verdrängtes Luftvolumen (V<sub>Luft</sub>) = Volumen des im Ballon befindlichen Heliums (V<sub>Helium</sub>)
500 kg = (ρ Luft – ρ Helium)(V)
Dies ist das Mindestvolumen an Helium, das benötigt wird, um ein Gewicht an der Erdoberfläche anzuheben. Damit der Ballon höher steigen kann, muss das Heliumvolumen erhöht werden. Dies liegt daran, dass die Luftdichte mit zunehmender Höhe abnimmt.
