Beispiel einer Frage zur Bestimmung der Position eines Objekts, das sich in einer Parabel bewegt

3 Beispiele für Aufgaben zur Bestimmung der Position eines Objekts, das sich in einer Parabel bewegt

1. Der Ball wird in einem Winkel von 60° nach oben geworfen.^o Ein Objekt bewegt sich horizontal mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 12 m/s. Bestimmen Sie die Position des Objekts nach einer Sekunde! Beschleunigung der Schwerkraft = 10 m/s²
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Winkel (θ) = 60^o
Geschwindigkeit Anfang (v)_o) = 12 m/s
Zeitintervall (t) = 1 Sekunden
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/s²
Gefragt: Position des Balls nach 1 Sekunde Bewegung
Antwort:
Zuerst berechnet man die Anfangsgeschwindigkeitskomponenten des Balls in horizontaler und vertikaler Richtung.
Anfangsgeschwindigkeit des Balls in horizontaler Richtung:
v_ox = v_o cos θ = (12 m/s)(cos 60^o) = (12 m/s)(0,5) = 6 m/s

Anfangsgeschwindigkeit des Balls in vertikaler Richtung:
v_oy = v_o sin θ = (12 m/s)(sin 60^o) = (12 m/s)(0,5√3) = 6√3 m/s

Die parabolische Bewegung wird als Kombination aus horizontaler und vertikaler Bewegung betrachtet. Die horizontale Bewegung wird wie folgt analysiert: gleichförmige lineare BewegungDie Bewegung in vertikaler Richtung wird analysiert als AufwärtsbewegungDie Position eines Objekts in horizontaler Richtung wird berechnet, indem man die Strecke eines Objekts bestimmt, das sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt; umgekehrt wird die Position eines Objekts in vertikaler Richtung berechnet, indem man die Höhe eines Objekts bestimmt, das sich senkrecht nach oben bewegt.

Position des Balls in horizontaler Richtung:
Es ist bekannt, dass:
Die Geschwindigkeit des Balls in horizontaler Richtung (v_x) = 6 m/s
Bei gleichförmiger geradliniger Bewegung ist die Geschwindigkeit des Objekts konstant, sodass die Anfangsgeschwindigkeit des Objekts gleich der Endgeschwindigkeit des Objekts ist.
Zeitintervall (t) = 1 Sekunden
Gefragt: Entfernung von Objekten
Antwort:
Eine Geschwindigkeit von 6 Metern pro Sekunde bedeutet, dass sich der Ball jede Sekunde 6 Meter bewegt. Die Strecke, die der Ball nach einer Sekunde zurücklegt, beträgt 6 Meter. Daher befindet sich der Ball horizontal in einer Entfernung von 6 Metern.

Position des Balls in vertikaler Richtung:
Bei der Lösung des Problems der vertikalen Aufwärtsbewegung, Vektorgröße Der Vektor, dessen Richtung nach oben zeigt, erhält ein positives Vorzeichen, der Vektor, dessen Richtung nach unten zeigt, erhält ein negatives Vorzeichen.
Es ist bekannt, dass:
Anfangsgeschwindigkeit des Balls (v)_o) = 6√3 m/s (positiv, da die Richtung der Anfangsgeschwindigkeit nach oben zeigt)
Zeitintervall (t) = 1 Sekunden
Erdbeschleunigung (g) = -10 m/s² (negativ, da die Gravitationsbeschleunigung nach unten zum Erdmittelpunkt gerichtet ist)
Gefragt: Die Höhe des Balls nach einer Sekunde Bewegung (h)
Antwort:
Es ist bekannt, dass v_o, t, g und fragte nach h, daher lautet die verwendete Formel: h = v_o t + 1/2 gt²
h = v_o t + 1/2 gt² = (6√3)(1) + 1/2 (-10)(1²) = 6√3 + (-5)(1) = 6√3 – 5 = 6(1,7) – 5 = 10,2 – 5 = 5,2 Meter.

Position des Balls nach 1 Sekunde Bewegung:
Die Position des Balls in horizontaler Richtung (x) = 6 Meter
Die Position des Balls in vertikaler Richtung (y) beträgt 5,2 Meter.
Die Koordinaten der Ballposition lauten also (x ; y) = (6 ; 5,2).

2. Die Kugel wird in einem Winkel von 30° nach oben abgefeuert.^o Eine Kugel wird horizontal aus einer Höhe von 20 Metern über dem Boden abgeschossen. Ihre Anfangsgeschwindigkeit beträgt 50 m/s. Welche Höhe erreicht die Kugel nach einer Sekunde? Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/s².²
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Winkel (θ) = 30^o
Anfangshöhe des Geschosses (h)_o) = 20 Meter
Anfangsgeschwindigkeit des Geschosses (v)_o) = 50 m/s
Zeitintervall (t) = 1 Sekunden
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/s²
Gefragt: Geschosshöhe
Antwort:
Anfangsgeschwindigkeit des Geschosses in vertikaler Richtung:
Berechnen Sie zunächst die Anfangsgeschwindigkeitskomponente des Balls in vertikaler Richtung.
v_oy = v_o sin θ = (50 m/s)(sin 30^o) = (50 m/s)(0,5) = 25 m/s

Geschosshöhe:
Die Höhe des Geschosses wird berechnet, indem die Höhe bei einer vertikalen Aufwärtsbewegung ermittelt wird.
Bei der Lösung von Problemen über vertikale Aufwärtsbewegungen erhält die nach oben gerichtete Vektorgröße ein positives Vorzeichen, die nach unten gerichtete Vektorgröße ein negatives Vorzeichen.
Es ist bekannt, dass:
Anfangsgeschwindigkeit des Geschosses (v)_o) = 25 m/s (positiv, da die Richtung der Anfangsgeschwindigkeit nach oben zeigt)
Zeitintervall (t) = 1 Sekunden
Erdbeschleunigung (g) = -10 m/s² (negativ, da die Richtung der Gravitationsbeschleunigung nach unten zum Erdmittelpunkt gerichtet ist)
Gefragt: Geschosshöhe (h)
Antwort:
Es ist bekannt, dass v_o, t, g und fragte nach h, daher lautet die verwendete Formel: h = v_o t + 1/2 gt²
h = v_o t + 1/2 gt² = (25)(1) + 1/2 (-10)(1²) = 25 + (-5)(1) = 25 – 5 = 20 Meter.
Die Höhe der Kugel nach einer Flugzeit von 1 Sekunde beträgt 20 Meter über dem Abschusspunkt bzw. 40 Meter über dem Boden.

3. Eine Murmel wird aus einer Höhe von 10 Metern mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 10 m/s horizontal nach rechts geworfen. Bestimmen Sie die Position der Murmel nach einer Sekunde! Erdbeschleunigung = 10 m/s²²
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Anfangshöhe (h) = 10 Meter
Anfangsgeschwindigkeit (v_o) = 10 m/s
Zeitintervall (t) = 1 Sekunden
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/s²
Gefragt: Position der Murmel nach 1 Sekunde Bewegung
Antwort:
Die Flugbahn der Murmel ist in der Abbildung dargestellt. Handelt es sich um eine Parabelbahn, wie in der Abbildung gezeigt, wird die Position des Objekts in vertikaler Richtung wie bei der Berechnung der Fallhöhe bestimmt, während die Position in horizontaler Richtung wie bei der Berechnung der zurückgelegten Strecke in gleichförmiger geradliniger Bewegung bestimmt wird.
Anfangs bewegt sich die Murmel in horizontaler Richtung, sodass die Anfangsgeschwindigkeit der Murmel in horizontaler Richtung (v) beträgt._ox) beträgt 10 m/s, während die Anfangsgeschwindigkeit der Murmel in vertikaler Richtung (v)_oy) ist 0 m/s.

Position der Murmeln in horizontaler Richtung:
Es ist bekannt, dass:
Die Geschwindigkeit der Murmel in horizontaler Richtung (v_x) = 10 m/s
Bei gleichförmiger geradliniger Bewegung ist die Geschwindigkeit des Objekts konstant, sodass die Anfangsgeschwindigkeit des Objekts gleich der Endgeschwindigkeit des Objekts ist.
Zeitintervall (t) = 1 Sekunden
Gefragt: Entfernung von Objekten
Antwort:
Eine Geschwindigkeit von 10 Metern pro Sekunde bedeutet, dass sich die Murmel jede Sekunde 10 Meter bewegt. Die Strecke, die die Murmel nach einer Sekunde zurücklegt, beträgt 10 Meter. Daher befindet sich die Murmel horizontal in einer Entfernung von 10 Metern.

Position der Murmeln in vertikaler Richtung:
Analysiert als freie Fallbewegung.
Es ist bekannt, dass:
Zeitintervall (t) = 1 Sekunden
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/s²
Gefragt: Die Höhe der Murmel nach 1 Sekunde Bewegung (h)
Antwort:
Gegeben sind t und g, gesucht ist h. Die verwendete Formel lautet h = 1/2 gt²
h = 1/2 gt² = 1/2 (10)(1²) = (5)(1) = 5 Meter.
Nach einer Sekunde fällt die Murmel 5 Meter weit. Die Höhe der Murmel über dem Boden beträgt 10 Meter – 5 Meter = 5 Meter.

Position der Murmel nach 1 Sekunde Bewegung:
Die Position der Murmel in horizontaler Richtung (x) = 10 Meter
Die Position der Murmel in vertikaler Richtung (y) = 5 Meter
Die Koordinaten der Position der Murmel lauten also (x ; y) = (10 ; 5).

[Englisch : Lösen von Aufgaben zur Wurfparabel – Bestimmung der Position eines Objekts]