Bevarelse af mekanisk energi på kurveoverflader – problemer og løsninger
1. Hvis boldens hastighed ved punkt A er 6 m/s, er boldens hastighed ved punkt B √92 m/s, og tyngdeaccelerationen er g = 10 m/s² . Hvad er højden af punkt B (h)?
Kendt:
Kuglens hastighed ved punkt A (vA) = 6 m/s
Kuglens hastighed ved punkt B (v B ) = √92 m/s
Tyngdeacceleration (g) = 10 m/ s²
Højden af A (h A ) = 5.6 meter
Højden af B (hB ) = h
Ønsket: Højden af punkt B (h)
opløsning:
Den indledende mekaniske energi = den potentielle gravitationsenergi
I punkt A er boldens hastighed = 0, så boldens kinetiske energi er = 0. KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
Kuglen er 5.6 meter høj, så den har gravitationel potentiel energi. Den gravitationelle potentielle energi : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m
Den indledende mekaniske energi = den gravitationelle potentielle energi + kinetisk energi = 56 m + 0 = 56 m
Den endelige mekaniske energi = den potentielle gravitationsenergi + kinetisk energi
I punkt B er kuglens højde h. Den potentielle gravitationsenergi: PE = mgh = m (10) h = 10 mh
Kuglens kinetiske energi: KE = 1/2 mv² = 1/2 m (√92) ² = 1/2 m (92) = 46 m
Den endelige mekaniske energi = den potentielle gravitationsenergi + den kinetiske energi = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Princippet om bevarelse af mekanisk energi:
Den indledende mekaniske energi = den endelige mekaniske energi
56 m = m (10 t + 46)
56 = 10 timer + 46
56 – 46 = 10 timer
10 = 10 timer
h = 10 / 10
h = 1 meter
2.
Hvis starthastigheden = 0, og tyngdeaccelerationen = 10 m/s² , hvad er så hastigheden ved højden af B?
Kendt:
Starthastigheden (v o ) = 0
Den oprindelige højde (h o ) = 50 m – 10 m = 40 m
Den endelige højde (ht ) = 0
Tyngdeacceleration (g) = 10 ms -2
Ønsket: Sluthastigheden (v/ t )
opløsning:
Ændringen af kinetisk energi:
ΔKE = 1/2 m (v t 2 – v o 2 ) = 1/2 m (v t 2 – 0) = 1/2 mv t 2
Ændringen af den potentielle energi:
ΔPE = mg(ht – h o ) = m(10)(0-40) = m(10)(-40) = – 400 m
Beregn sluthastigheden (v t ) ved hjælp af ligningen for princippet om bevarelse af mekanisk energi :
0 = ΔKE + ΔPE
0 = 1/2 mv t 2 – 400 m
1/2 mv t² = 400 m
1/2 v t² = 400
vt² = 2 (400 )
vt = √(400)(2)
vt = 20√2 m/ s
- Hvad menes der med "bevarelse af mekanisk energi"?
- Svar: Bevarelse af mekanisk energi betyder, at den samlede mekaniske energi (summen af kinetisk og potentiel energi) i et isoleret system forbliver konstant, hvis kun konservative kræfter, såsom tyngdekraft, virker på det.
- Hvordan bevarer et objekt, der bevæger sig på en buet overflade (som en kugle, der ruller ned ad en buet rampe) sin mekaniske energi?
- Svar: Når objektet bevæger sig ned ad den buede overflade, omdannes potentiel energi til kinetisk energi, men den samlede mekaniske energi forbliver konstant, forudsat at ingen ikke-konservative kræfter (som friktion) udfører arbejde.
- Hvis en kugle slippes fra hvile øverst på en buet rampe, hvordan ændrer dens kinetiske energi sig så, når den bevæger sig ned ad rampen?
- Svar: Boldens kinetiske energi stiger, når den bevæger sig ned ad rampen, fordi dens potentielle energi falder og omdannes til kinetisk energi.
- Hvordan ville hastigheden af en kugle i bunden af en buet rutsjebane sammenlignes med en lige rutsjebane af samme højde i fravær af friktion?
- Svar: Kuglens hastighed i bunden ville være den samme for både de buede og lige glider, fordi omdannelsen af potentiel energi til kinetisk energi kun afhænger af den lodrette højde, ikke den taget bane.
- Hvorfor kan en kugle ikke nå sin oprindelige højde, når den rulles op ad en buet rampe efter at være faldet ned fra en bestemt højde?
- Svar: Hvis der er ikke-konservative kræfter som friktion, der virker på bolden, vil de udføre arbejde mod bevægelsen og omdanne noget af boldens mekaniske energi til andre former, såsom varme. Som følge heraf har bolden muligvis ikke nok energi til at nå sin oprindelige højde.
- Hvis to genstande med forskellig form (f.eks. en kugle og en terning) glider ned ad en buet rampe fra samme højde uden at rulle, vil de så have samme hastighed i bunden? Hvorfor?
- Svar: Ja, de vil have samme hastighed i bunden. Hvis vi antager, at der ikke er nogen rulning og ingen friktion, er den eneste faktor, der bestemmer deres hastighed, energibevarelsen baseret på den oprindelige højde, ikke deres form.
- Hvordan påvirker en overflades krumning normalkraften på et objekt, der bevæger sig langs den?
- Svar: Krumningen får normalkraftens retning til at ændre sig, når objektet bevæger sig. På en konkav opadgående overflade (som indersiden af en skål) er normalkraften større i bunden på grund af den centripetalkraft, der kræves til kurvet bevægelse. Omvendt kan normalkraften på en konveks overflade falde eller endda blive nul (objektet forlader overfladen) på det øverste punkt.
- Hvilken rolle spiller krumningsradius i bevarelsen af mekanisk energi på en buet overflade?
- Svar: Selve krumningsradiusen påvirker ikke direkte bevarelsen af mekanisk energi. Den kan dog påvirke normalkraften og, hvis der er friktion, mængden af energi, der går tabt til ikke-konservative kræfter.
- Hvis et spor har en fordybning i midten (som en U-formet kurve), hvordan varierer den mekaniske energi af et objekt, når det bevæger sig gennem fordybningen og op på den anden side?
- Svar: Objektets potentielle energi vil falde, når det bevæger sig ned i fordybningen, og dets kinetiske energi vil øges. Når det bevæger sig op på den anden side, vil dets kinetiske energi falde, og dets potentielle energi vil stige. Hvis kun konservative kræfter virker, forbliver den samlede mekaniske energi konstant under hele bevægelsen.
- Kan et objekt have både translationel og rotationskinetisk energi, når det bevæger sig på en buet overflade?
- Svar: Ja, hvis et objekt som en kugle ruller (uden at glide) på en buet overflade, vil det have translationel kinetisk energi på grund af dens massecenters bevægelse og rotationel kinetisk energi på grund af dens rotation om sin akse.
