Tilføjelse af vektorer

Artikel om addition af vektorer

1. Mængder af vektor og skalar

Ud over de grundlæggende og afledte størrelser kan fysiske størrelser stadig opdeles i to andre typer, nemlig skalære størrelser og vektorstørrelser. Størrelser som masse, afstand, tid og volumen er skalære størrelser, størrelser der kun har størrelse, men ingen retning. Mens størrelser som forskydning, hastighed, acceleration og kraft er vektorstørrelser, størrelser der har størrelse og også har retning.

a. Forskellen mellem s calar og vektormængde

Hvis du siger, at en kugles masse er 400 gram, er denne påstand nok til at kende boldens masse. Du behøver ikke retning for at finde ud af boldens masse. Det samme gælder tid, temperatur, volumen, densitet osv. Der er flere fysiske størrelser, der ikke kan udtrykkes udelukkende i størrelsesorden. Hvis du siger, at et barn bevæger sig så langt som 100 meter, er denne påstand ikke nok. Du spørger måske, hvor bevægede han sig hen? Er det nord, syd, øst eller vest? Ligeledes, hvis du siger, at du skubber bordet med en kraft på 200 N.

Hvor kører du hen? Sådanne størrelser kaldes vektorstørrelser, som kræver en forklaring af størrelse og retning. Eksempler på vektorstørrelser er forskydning, acceleration, impuls, momentum osv. Du kan forstå det bedre, når du studerer emner relateret til disse størrelser.

b. Tegn en vektor

Vektoren er angivet med en pil. Pilen er altid tegnet, så den peger i vektorens retning. Pilens længde beskrives som vektorens størrelse. For eksempel i figuren af ​​en kraftvektor (F) med en størrelse på 2 N, hvis retning er mod nordøst eller 45 ^° om x-aksen.

c. Regler for skrivning af vektorstørrelser

Når man skriver en vektor, og bruger håndskrift, skrives vektorsymbolet generelt med kursiv med store bogstaver, og ovenover skal der tilføjes en pil. For trykte bøger skrives vektorsymboler med store bogstaver med fed skrift, for eksempel F. For vektorens størrelse, hvis vi bruger håndskrift , skrives vektorens størrelse, for eksempel |F|. For trykte bøger skrives vektorens størrelse i kursiv, for eksempel F.

2. Addition af vektorer – grafiske metoder

Der er flere måder at addere vektorer grafisk på, herunder hale-til-spids-metoden og parallelogrammetoden.

a. Hale-til-spids-metoden til at tilføje vektorer

Vektorerne A og B er kendte. Vektor A = 3 cm falder sammen med x-aksen (mod øst). Vektor B = 2 cm danner en vinkel på 30 ^° med x-aksen (mod nordøst). Læg A og B grafisk sammen ved hjælp af hale-til-spids-metoden. a) R = A + B b) R = A – B

Størrelsen af ​​den resulterende vektor (R) måles med en lineal. Retningen af ​​den resulterende vektor måles med en vinkelmåler.

Kendte vektorer A, B og C. Vektor A = 3 cm falder sammen med x-aksen (mod øst). Vektor B = 2 cm danner en vinkel på 30 ^° med x-aksen (mod nordøst). Vektor C = 1 cm danner en vinkel på 60 ^° med x-aksen (mod nordøst). Læg A, B og C grafisk sammen ved hjælp af hale-til-spids-metoden.

a) R = A + B + C

b) R = A – B – C

Den resulterende vektor (R) måles med en lineal. Retningen af ​​den resulterende vektor måles med en vinkelmåler.

b. Parallelogrammetoden

Kendte vektorer A, B og C. Vektor A = 3 cm falder sammen med x-aksen (mod øst). Vektor B = 2 cm danner en vinkel på 30 ^° med x-aksen (mod nordøst). Vektor C = 1 cm danner en vinkel på 60 ^° med x-aksen (mod nordøst). Læg A, B og C grafisk sammen ved hjælp af et parallelogram.

a) R = A + B

b) R = A – B

c) R = A + B + C

d) R = A – B – C

Den resulterende vektor (R) måles med en lineal. Retningen af ​​den resulterende vektor måles med en vinkelmåler.

3. Addition af vektorer – enanalytisk metode

At bestemme størrelsen og retningen af ​​den resulterende vektor med den grafiske metode er én fremgangsmåde. Resultaternes nøjagtighed afhænger af din nøjagtighed og nøjagtighed i at tegne og aflæse skalaen. Størrelsen og retningen af ​​den resulterende vektor opnås mere præcist gennem matematiske beregninger.

a. Beregning af summen af ​​2 vektorer ved hjælp af cosinusreglen

Formlen til bestemmelse af størrelsen af ​​den resulterende vektor:

Formlen til bestemmelse af den resulterende vektors retning:

C = resulterende vektor

A = vektor 1

B = vektor 2

cos ∠(A, B) = vinkel dannet af vektorerne A og B

Eksempel på problem 1:

F1 = 2N danner en vinkel på 30° om x-aksen, F2 _{= 3N} danner en vinkel på 60 ^° om x-aksen, θ = 30 ^°.

Eksempel på problem 2:

F1 ₌ 2N falder sammen med x-aksen, F2 ₌ 3N danner en vinkel på 90 ^° om x-aksen, θ = 90 ^°.

b. Addition af vektorer efter komponenter

Gennemgå en vektor F, der danner en bestemt vinkel omkring x-aksen, som vist i figuren nedenfor. Fx _og Fy _er komponentvektorer af vektor F.

Størrelsen af ​​komponentvektoren bestemmes ved hjælp af formlen:

Fx ₌ Fcosθ

F _y = F sin θ

Gennemgå de to vektorer F₁ og F₂ som danner en bestemt vinkel omkring x-aksen, som vist på figuren nedenfor. F_1x og F_1y er komponenter af vektor F₁, så F_2x og F_2y er komponenter af vektor F₂.

Komponentvektoren bestemmes ved hjælp af formlen:

F_1x =F₁ cos θ

F1y = _{F1 sin} θ

F2x = _F2 cos _θ

F1y = _{F1 sin} θ

Addition af komponentvektorerne:

Fx = _F1x + _F2x​

F _y = F _1y + F _2y

Den resulterende vektor bestemmes ved hjælp af formlen:

Retningen af ​​den resulterende vektor bestemmes ved hjælp af formlen:

Eksempel på problem 1:

Bestem komponenterne af vektor F, hvis størrelsesorden er 20 N og danner en vinkel på 30 ^° om x-aksen.

F _x = (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

Eksempel på problem 2:

F1 ₌ 20 N danner en vinkel på 30 ^° omkring x-aksen, og F2 ₌ 15 N danner en vinkel på 180° omkring x-aksen. Bestem størrelsen og retningen af ​​den resulterende vektor.

F1x = ( ₂₀ N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F2x = F1 ₌ – 15 _N

F _1y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

F²y ₌ 0

Addition af komponentvektorerne:

Fx ₌ F1x – F2x _{= 17N} – 15N = 2N

F _y = 10 N

Den resulterende vektor:

F2 = Fx2 ₊ Fy2 ₌ 22 ⁺ 102 ^{= 4} + 100 ⁼ ₁₀₄

F = 10.2 N

Retning af den resulterende vektor:

θ = tan −15 = 78.7 ^o omkring x-aksen

Eksempel på problem 3:

F₁, F_2, og F₃ er 20 N, 30 N og 40 N. F₁ danner en vinkel på 60^o omkring x-aksen, F₂ danner en vinkel på 150^o omkring x-aksen, og F₃ danner en vinkel på 315^o omkring x-aksen. Bestem størrelsen og retningen af ​​den resulterende vektor.

F1x = ( ₂₀ N)(cos 60 ^o ) = 10 N

F _1y = (20 N)(sin 60 ^o ) = 17 N

F2x = ( ₃₀ N)(cos 30 ^o ) = -26 N

F _2y = (30 N)(sin 30 ^o ) = 15 N

F3x = ( ₄₀ N)(cos 45 ^o ) = 28 N

F _3y = (40 N) (sin 45 ^o ) = -28 N

Addition af komponentvektoren:

Fx ₌ F1x _– F2x + F3x ₌ 10N – 26N + 28N = _12N

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

Resulterende vektor:

F2 ⁼ Fx2 + _Fy2 = 122 ^{+ 42} ₌ 144 + 16 ^{= 160}

F = 13 N

Retning af den resulterende vektor:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^o omkring x-aksen