Archimedes' lovmateriale
Har du nogensinde set et skib? Hvis du ikke har set et personligt, har du forhåbentlig set et på tv eller internettet. Et skib med en meget stor masse synker ikke, mens en lille, let sten kan. Hvorfor er det sådan? Svaret er ret simpelt, hvis du forstår begreberne opdrift og Archimedes' princip.
I hverdagen vil vi opdage, at genstande placeret i en væske, såsom en sten, har mindre vægt, end når genstanden ikke er i væsken. Du kan have svært ved at løfte en sten fra jordoverfladen, men den samme sten løftes let fra bunden af bassinet. Dette skyldes opdriftskraften. Opdrift opstår på grund af forskellen i væsketryk i forskellige dybder. Væsketrykket stiger med dybden; jo dybere væsken er, desto større er væsketrykket. Når en genstand placeres i en væske, vil der være en trykforskel mellem væsken over genstanden og væsken under genstanden. Væsken, der er placeret i bunden af genstanden, har et større tryk end væsken, der er placeret øverst på genstanden.
Opdrift
På billedet ses et objekt flyde i vand. Væsken under objektet har et højere tryk end væsken over objektet. Dette skyldes, at væsken under objektet har en større dybde end væsken over objektet (t2 > timer1).
F2 = kraft udøvet af væsken på objektets bund, F1 = kraft udøvet af væsken på objektets overflade, A = objektets overfladeareal
Forskellen mellem F2 og F1 er den samlede kraft, som væsken udøver på et objekt, hvilket vi kender som opdriftskraften. Størrelsen af opdriftskraften er:
F opdrift = F2 − F1
F opdrift = (ρ gh2 A) − (ρ gh1 A)
F opdrift = ρ g A ( h2 - h1)
F opdrift = ρ g A h
F opdrift = ρ g V
Information :
ρ = væskedensitet
g = tyngdeacceleration
V = volumen af objektet i væsken
således at ligningen, der angiver størrelsen af opdriftskraften (F opdrift) ovenfor, kan skrives som:
F opdrift = ρF g V → m = ρ V
F opdrift = mF g
F opdrift = wF
mF g = wF = vægten af en væske, der har samme volumen som volumenet af den nedsænkede genstand.
Archimedes' princip
Baseret på ovenstående ligning kan vi sige, at opdriftskraften er lig med vægten af den fortrængte væske, og at volumenet af den fortrængte væske er lig med volumenet af det objekt, der er nedsænket i væsken.
Hvis en genstand nedsænkes i en væske og flyder, med kun en del af genstanden nedsænket, så er volumenet af den fortrængte væske lig med volumenet af den del af genstanden, der er nedsænket i væsken. Uanset genstandens form eller størrelse vil det samme ske for alle. Dette er Archimedes' værk (287-212 f.Kr.), som nu er kendt som Archimedes' Princip.
Archimedes' princip siger, at:
Når en genstand er helt eller delvist nedsænket i en væske, vil væsken udøve en opadgående kraft (opdriftskraft) på genstanden, hvor størrelsen af den opadgående kraft (opdriftskraft) er lig med vægten af den fortrængte væske.
Historien om Archimedes
Archimedes, der levede mellem 287 og 212 f.Kr., blev bestilt af Kong Hieron II til at undersøge, om kronen, der var lavet til kongen, var lavet af rent guld. Archimedes var i starten forvirret over, om kronen var lavet af rent guld, eller om den indeholdt andre metaller. Problemet var, at kronen var uregelmæssig i form og ikke kunne ødelægges for at afgøre, om den var rent guld.
Ideen bag at afgøre, om en kongekrone er lavet af rent guld, er først at bestemme kronens specifikke tyngdekraft og derefter sammenligne den med guldets specifikke tyngdekraft. Hvis kronen er lavet af rent guld, så er kronens specifikke tyngdekraft = guldets specifikke tyngdekraft.
En genstands specifikke tyngdekraft er forholdet mellem genstandens vægt i luft og vægten af vand med samme volumen som genstanden. Matematisk skrives det:
Hvordan bestemmer man vægten af vand, der har samme volumen som volumen af en genstand?
Ifølge Arkimedes er vægten af vand med samme volumen som objektets volumen = størrelsen af opdriftskraften, når objektet synker (hele objektet nedsænkes i vand). Dette er det samme som den vægt, objektet mister, når det vejes i vand. Således:
For at bestemme kronens specifikke tyngdekraft vejes kronen først i luft (kronens vægt i luft). Derefter lægges kronen i vand og vejes igen for at bestemme vægten af den tabte krone. Altså:
Når kronens specifikke tyngdekraft er beregnet, sammenlignes den med gulds specifikke tyngdekraft. Gulds specifikke tyngdekraft er 19,3. Hvis kronens specifikke tyngdekraft er lig med gulds specifikke tyngdekraft, er kronen lavet af rent guld. Men hvis kronen ikke er lavet af rent guld, vil kronens specifikke tyngdekraft ikke være den samme som gulds specifikke tyngdekraft.
Hvorfor synker skibe ikke?
Hvis en genstands densitet er mindre end vands densitet, vil genstanden flyde. Hvis en genstands densitet derimod er større end vands densitet, vil genstanden synke. De fleste skibe er lavet af jern og stål. Densitet af jern og stål = 7,8 x 103 kg / m3 mens vandets densitet = 1,00 x 103 kg / m3Det ser ud til, at densiteten af jern og stål er større end densiteten af vand. I dette tilfælde er den specifikke tyngdekraft af jern og stål = 7,8. Skibe lavet af jern og stål burde synke. Hvorfor synker skibe ikke? Skibets samlede densitet er mindre end densiteten af vand eller havvand.
Eksempelspørgsmål om Archimedes' lov
Eksempelspørgsmål 1:
En sten på 40 kg ligger på bunden af en pool. Hvis stenens volumen = 0,2 m3 hvor meget kraft Minimum kræves for at løfte stenen?
Diskussion
Det er kendt, at:
Stenens masse (m) = 40 kg
Stenens volumen (V) = 0,02 m3
Vanddensitet = 1000 kg/m²3
Tyngdeacceleration (g) = 10 m/s2
Spurgte: F minimum
Svar:
F opdrift = w F
F opdrift = m F g → m = pV
F opdrift = ρ F g V
F opdrift = (1000 kg/m3 )(10 m/s2)(0,02 m3)
F opdrift = 200 kg m/s2
F opdrift = 200 N
Stenens vægt (w) = mg
Stenens vægt = (40 kg) (10 m/s2)
Stenens vægt = 400 kg m/s2
Stenens vægt = 400 N
Minimumskraft, der kræves for at løfte en sten:
Stenens vægt – Opdriftskraft = 400 N – 200 N = 200 Newton.
Eksempelspørgsmål 2:
Objektets vægt i luft = 5000 kg m/s2 og objektets vægt i vand = 4000 kg m/s2Hvis densiteten objekt = 2000 kg/m²3 Hvad er objektets masse og volumen? g = 10 m/s2
Diskussion
Tyngdeacceleration (g) = 10 m/s2
Objektets densitet = 2000 kg/m²3
Vandets densitet = 1000 kg/m²3
Objektets vægt i luft = 5000 kg m/s2
Objektets vægt i vand = 4000 kg m/s2
Opdriftskraft (F opdrift) = Objektets vægt i luft – Objektets vægt i vand
F opdrift = 5000 kg m/s2 – 4000 kg m/s2
F opdrift = 1000 kg m/s2
F opdrift = Vægt af fortrængt vand
F opdrift = (vandmasse)(g)
F opdrift = (volumen af fortrængt vand)(vandets densitet)(g)
Volumen af fortrængt vand = Volumen af genstand nedsænket i vand 😉
Så objektets rumfang = 0,1 m3
Objektets masse = ?
ρ = m / V
m = ρ V
m = (2000 kg/m²3 )(0,1 m3 )
m = 200 kg
Objektets masse = 200 kg
Eksempelspørgsmål 3:
Hvor meget helium skal der bruges, hvis en ballon skal løfte en last på 500 kg?
Diskussion
Heliumdensitet = 0,1786 kg/m²3
Luftdensitet = 1,293 kg/m²3
Opdriftskraft = Vægt af fortrængt luft = Vægt af last + Vægt af helium
Opdriftskraft = Lastens vægt + heliumets vægt
Opdriftskraft = (lastens masse)(g) + (heliums masse)(g)
Opdriftskraft = (lastens masse + heliums masse) g —- ligning 1
Opdriftskraft = Vægt af fortrængt luft
Opdriftskraft = (masse af fortrængt luft)(g) —- ligning 2
Vi kombinerer ligning 1 og ligning 2:
(lastens masse + heliums masse)(g) = (masse af fortrængt luft)(g)
Lastens masse + heliums masse = massen af fortrængt luft
500 kg + (ρ helium)(V helium) = (ρ luft)(V luft)
500 kg = (ρ luft)(V luft) – (ρ helium)(V helium)
Volumen af fortrængt luft (V luft) = Volumen af helium, der fylder ballonen (V helium)
500 kg = (ρ luft – ρ helium)(V)
Dette er den minimale mængde helium, der kræves for at løfte en vægt ved Jordens overflade. For at ballonen kan svæve højere, skal mængden af helium øges. Dette skyldes, at lufttætheden falder med højden.
