Deunydd Lluosi Dot Gan Ddefnyddio Cydrannau Fector Uned
Gallwn gyfrifo'r lluoswm sgalar yn uniongyrchol os ydym yn gwybod cydrannau x, y a z y fectorau A a B (y fectorau hysbys).
I berfformio cynnyrch dot yn y ffordd hon, rydym yn gyntaf yn perfformio cynnyrch dot o'r fectorau uned, ar ôl hynny rydym yn mynegi fectorau A a B yn eu cydrannau, yn dadelfennu'r cynnyrch ac yn defnyddio cynnyrch y fectorau uned.
Mae'r fectorau uned i , j, a k yn berpendicwlar i'w gilydd, gan wneud y cyfrifiadau'n haws. Gan ddefnyddio'r hafaliad lluosi sgalar a ddeilliwyd uchod ( AB = AB cos theta ), rydym yn cael:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
Nawr rydym yn mynegi fectorau A a B o ran eu cydrannau, yn dadelfennu eu cynnyrch ac yn defnyddio cynnyrch y fectorau uned.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Oherwydd i . i = j . j = k . k = 1 a i . j = i . k = j . k = 0, yna:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y Gan y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Yn seiliedig ar ganlyniadau'r cyfrifiad hwn, gellir dod i'r casgliad mai cyfanswm cynhyrchion eu cydrannau tebyg yw cynnyrch sgalar neu gynnyrch dot dau fector.
Cwestiwn Enghraifft 1:
Fector mawr A Dan B yn y drefn honno yw 5 a 4, fel y dangosir yn y ddelwedd isod. Yr ongl a ffurfiwyd yw 90oCyfrifwch ef cynnyrch dot y ddau fector.
Trafodaeth
Cyn i ni gyfrifo lluoswm dot y fectorau A a B, mae angen i ni wybod cydrannau'r ail fector yn gyntaf.
A x = (5) cos 0 o = (5)(1) = 5
A y = (5) pechod 0 o = (5)(0) = 0
Az = 0
B x = (4) cos 90 o = (4)(0) = 0
B y = (4) pechod 90 o = (4)(1) = 4
B z = 0
Dim ond cydrannau fector sydd gan fector A ar yr echelin-x a dim ond cydrannau fector sydd gan fector B ar yr echelin-y. Mae'r gydran z yn sero oherwydd bod fectorau A a B yn y plân xy.
Nawr rydym yn cyfrifo'r cynnyrch dot rhwng fectorau A a B gan ddefnyddio'r hafaliad cynnyrch dot gyda fectorau cydran:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Gadewch i ni ei gymharu â'r dull cyntaf
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Mae'r canlyniad yr un fath.
Cwestiwn Enghraifft 2:
Fector mawr A Dan B yw 5 a 4 yn y drefn honno, fel y dangosir yn y llun isod. Cyfrifwch cynnyrch dot y ddau fector, os yw'r ongl a ffurfiwyd yn 30o
Trafodaeth
Cyn i ni gyfrifo lluoswm dot y fectorau A a B, mae angen i ni wybod cydrannau'r ail fector yn gyntaf.
Mae'r gydran z yn sero oherwydd bod y fectorau A a B yn y plân xy.
Nawr rydym yn cyfrifo'r cynnyrch dot rhwng fectorau A a B gan ddefnyddio'r hafaliad cynnyrch dot gyda fectorau cydran:
Cymharwch â'r dull cyntaf.
