Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Bwyntiau Eithafol: Gwerth Dychwelyd Isafswm a Gwerth Dychwelyd Uchafswm
Mae pennu pwyntiau eithafol, sef y pwyntiau lle mae ffwythiant yn cyrraedd ei werth lleiaf neu fwyaf, yn gysyniad craidd mewn calcwlws a dadansoddi mathemategol. Yn yr erthygl hon, byddwn yn archwilio sut i ddod o hyd i bwyntiau eithafol a'u dadansoddi trwy sawl problem enghreifftiol sy'n cynnwys gwerthoedd dychwelyd lleiaf ac uchaf.
Diffiniadau Pwnc a Theoremau
Cyn trafod problemau enghreifftiol, mae angen i ni ddeall rhai cysyniadau a theoremau sylfaenol:
1. Pwynt Critigol: Yw gwerth \(x \) lle mae deilliad cyntaf \(f'(x) \) y ffwythiant \(f(x) \) yn sero neu ddim yn bodoli.
2. Gwerth Dychwelyd Uchaf: Yw gwerth \(f(x) \) sy'n fwy na gwerth \(f(x) \) o amgylch y pwynt hwnnw.
3. Gwerth Dychwelyd Isafswm: Yw'r gwerth o \(f(x) \) sy'n llai na gwerth \(f(x) \) o amgylch y pwynt hwnnw.
4. Theorem Fermat: Os oes gan \(f \) werth eithafol lleol yn \(c \) a bod y deilliad \(f'(c) \) yn bodoli, yna \(f'(c) = 0 \).
Cwestiwn Enghraifft 1: Ffwythiannau Cwadratig
Yn gyntaf, rydym yn dechrau gyda ffwythiant cwadratig syml:
\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]
Camau:
1. Dewch o hyd i ddeilliad cyntaf \( f'(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]
2. Dewch o hyd i'r pwyntiau critigol drwy ddatrys \( f'(x) = 0 \):
\[
4x – 4 = 0 \implies x = 1
\]
3. Penderfynwch werth y ffwythiant yn y pwynt critigol:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]
4. Defnyddiwch yr ail ddeilliad i bennu natur y pwynt:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
Gan fod \(f”(1) > 0 \), mae'r pwynt \(x = 1 \) yn bwynt lleiaf lleol.
Cwestiwn Enghraifft 2: Ffwythiannau Polynomial
Nawr gadewch i ni roi cynnig ar ffwythiant polynomial mwy cymhleth:
\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]
Camau:
1. Penderfynwch y deilliad cyntaf \( g'(x) \):
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]
2. Dewch o hyd i'r pwyntiau critigol drwy ddatrys \( g'(x) = 0 \):
\[
3x^2 – 6x = 0 \implies 3x(x – 2) = 0 \implies x = 0 \text{ neu } x = 2
\]
3. Penderfynwch werth y ffwythiant yn y pwynt critigol:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]
4. Defnyddiwch yr ail ddeilliad i bennu natur y pwynt:
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{gwerth mwyaf lleol})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{gwerth lleiaf lleol})
\]
Felly, mae gan \(g(x) \) uchafswm lleol yn \(x = 0 \) ac isafswm lleol yn \(x = 2 \).
Cwestiwn Enghraifft 3: Swyddogaethau Trawsennol
Beth am edrych ar ffwythiant sy'n cynnwys esboniad:
\[ h(x) = xe^{-x} \]
Camau:
1. Penderfynwch y deilliad cyntaf \( h'(x) \):
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}
\]
2. Dewch o hyd i'r pwynt critigol drwy ddatrys \( h'(x) = 0 \):
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \implies 1 – x = 0 \implies x = 1
\]
3. Penderfynwch werth y ffwythiant yn y pwynt critigol:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]
4. Defnyddiwch yr ail ddeilliad i bennu natur y pwynt:
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
Gan fod \( h”(1) < 0 \), mae'r pwynt \( x = 1 \) yn uchafswm lleol. Problem Enghraifft 4: Ffwythiannau Rhesymegol Yn olaf, rydym yn gwerthuso'r ffwythiant rhesymegol: \[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \] Camau: 1. Dewch o hyd i'r deilliad cyntaf gan ddefnyddio'r rheol cymhareb: \[ k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \] 2. Dewch o hyd i'r pwyntiau critigol trwy ddatrys \( k'(x) = 0 \): \[ \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2} \] 3. Pennwch werth y ffwythiant yn y pwynt critigol: \[ k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2} \] \[ k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \times \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2} \] 4. Defnyddiwch yr ail ddeilliad i wirio priodweddau'r pwynt: \[ k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right) \] Gellir gwneud cyfrifiadau pellach trwy wahaniaethu \( k'(x) \) Bydd y canlyniadau'n dangos a yw \( x = \sqrt{2} \) a \( x = -\sqrt{2} \) yn bwyntiau uchafswm neu isafswm lleol. Casgliad Yn yr erthygl hon, rydym wedi trafod sawl problem enghreifftiol sy'n dangos sut i ddod o hyd i'r eithaf, hynny yw, yr isafswm a gwerthoedd gwrthdro mwyaf, o wahanol fathau o ffwythiannau. Mae'r technegau a ddefnyddir yn cynnwys dod o hyd i'r deilliad cyntaf i ddod o hyd i bwyntiau critigol, defnyddio'r ail ddeilliad i bennu natur y pwyntiau, a gwerthuso'r ffwythiant yn y pwyntiau hynny. Mae hwn yn sylfaen gadarn ar gyfer plymio'n ddyfnach i ddadansoddiad ffwythiannol mewn calcwlws.
