Cwestiynau enghreifftiol a thrafodaeth ar briodweddau ffwythiannau deilliadol
Mae deilliad ffwythiant yn gysyniad sylfaenol mewn calcwlws sy'n hynod ddefnyddiol ar gyfer dadansoddi ymddygiad rhai ffwythiannau. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl problem enghreifftiol ac yn trafod priodweddau deilliad ffwythiant.
Cyflwyniad i Ddeilliadau Ffwythiannau
Mynegir deilliad ffwythiant \(f \) fel \(f'(x) \). Mae deilliad cyntaf ffwythiant yn rhoi cyfradd newid y ffwythiant mewn perthynas â'i newidyn annibynnol. Term arall a ddefnyddir yn aml yw differol. Os yw \(y = f(x) \), yna deilliad \(f \) mewn perthynas â \(x \) yw:
\[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]
Priodweddau Deilliadau Ffwythiannau
Dyma rai priodweddau pwysig deilliad ffwythiant:
1. Llinoldeb: Os yw \( f(x) \) a \( g(x) \) yn ffwythiannau gwahaniaethadwy, ac mae \( c \) yn gysonyn, yna:
\[
\frac{d}{dx} [cf(x) + g(x)] = c f'(x) + g'(x)
\]
2. Rheol y Gadwyn: Ar gyfer y ffwythiant cyfansawdd \( g(f(x)) \):
\[
\frac{d}{dx} g(f(x)) = g'(f(x)) \cdot f'(x)
\]
3. Cynnyrch: Ar gyfer y ffwythiannau \( u(x) \) a \( v(x) \):
\[
\frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
\]
4. Cymhareb: Ar gyfer y ffwythiannau \( u(x) \) a \( v(x) \) lle \( v(x) \) ≤ 0 \):
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
\]
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Enghraifft 1: Pennu Deilliad Ffwythiant Syml
Tybiwch fod \( f(x) = 3x^2 + 5x – 4 \). Penderfynwch ddeilliad y ffwythiant.
Datrysiad:
Byddwn yn defnyddio'r rheolau sylfaenol ar gyfer gwahaniaethu.
\[
f(x) = 3x^2 + 5x – 4
\]
Deilliad cyntaf:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^2) + \frac{d}{dx} (5x) – \frac{d}{dx} (4)
\]
Cyfrifo pob deilliad:
\[
\frac{d}{dx} (3x^2) = 6x
\]
\[
\frac{d}{dx} (5x) = 5
\]
\[
\frac{d}{dx} (4) = 0
\]
Felly hynny:
\[
f'(x) = 6x + 5
\]
Enghraifft 2: Defnyddio'r Rheol Gadwyn
O ystyried y ffwythiant \( y = (2x^3 – x^2 + 1)^5 \). Penderfynwch ddeilliad y ffwythiant.
Datrysiad:
Defnyddiwch y rheol gadwyn. Tybiwch fod \( u = 2x^3 – x^2 + 1 \), yna gellir ailysgrifennu'r ffwythiant fel \( y = u^5 \).
Yn gyntaf, dewch o hyd i ddeilliad \(y \) mewn perthynas â \(u \):
\[
\frac{dy}{du} = 5u^4
\]
Nesaf, dewch o hyd i ddeilliad \(u \) mewn perthynas â \(x \):
\[
u = 2x^3 – x^2 + 1
\]
\[
\frac{du}{dx} = 6x^2 – 2x
\]
Cyfunwch y ddau ddeilliad gyda'r rheol gadwyn:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot (6x^2 – 2x)
\]
Amnewidiwch eto \( u = 2x^3 – x^2 + 1 \):
\[
\frac{dy}{dx} = 5(2x^3 – x^2 + 1)^4 \cdot (6x^2 – 2x)
\]
Enghraifft 3: Defnyddio Rheolau Cynnyrch
O ystyried \( f(x) = x^2 e^x \). Penderfynwch ddeilliad y ffwythiant.
Datrysiad:
Defnyddiwch y rheol lluoswm, hynny yw, os \( u(x) = x^2 \) a \( v(x) = e^x \), yna:
\[
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
Yn gyntaf, cyfrifwch ddeilliadau \( u(x) \) a \( v(x) \):
\[
u(x) = x^2 \implises u'(x) = 2x
\]
\[
v(x) = e^x \implices v'(x) = e^x
\]
Drwy gymhwyso rheolau'r cynnyrch:
\[
f'(x) = 2x ⋅ e^x + x^2 ⋅ e^x = e^x (2x + x^2)
\]
Enghraifft 4: Defnyddio'r Rheol Cymhareb
O ystyried \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 2} \). Dewch o hyd i ddeilliad y ffwythiant.
Datrysiad:
Defnyddiwch y rheol cymhareb, sef os yw \( u(x) = x^2 + 1 \) a \( v(x) = x + 2 \), yna:
\[
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
Yn gyntaf, cyfrifwch ddeilliadau \( u(x) \) a \( v(x) \):
\[
u(x) = x^2 + 1 \implies u'(x) = 2x
\]
\[
v(x) = x + 2 \implies v'(x) = 1
\]
Drwy gymhwyso'r rheol cymhareb:
\[
f'(x) = \frac{2x(x + 2) – (x^2 + 1)(1)}{(x + 2)^2}
\]
\[
f'(x) = \frac{2x^2 + 4x – x^2 – 1}{(x + 2)^2}
\]
\[
f'(x) = \frac{x^2 + 4x – 1}{(x + 2)^2}
\]
Casgliad
Mewn calcwlws, mae deall y cysyniad sylfaenol o ddeilliadau a'u priodweddau yn hanfodol ar gyfer datrys amrywiol broblemau mathemategol. Mae'r erthygl hon yn crynhoi sawl dull ar gyfer deillio ffwythiannau trwy ddangos y defnydd o reolau sylfaenol fel llinoledd, cadwyni, cynhyrchion, a chymharebion trwy sawl enghraifft a thrafodaethau manwl. Trwy ddeall ac ymarfer deilliadau yn aml, gallwn ddod yn fwy hyfedr wrth ddadansoddi newidiadau mewn ffwythiannau mewn amrywiol gyd-destunau.
