Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Ysgrifennu Deilliadau Ffwythiannau
Mae deilliad ffwythiant yn gysyniad sylfaenol mewn calcwlws, a ddefnyddir yn aml mewn amrywiol feysydd gwyddoniaeth, megis ffiseg, economeg, bioleg a pheirianneg. Mae deilliad ffwythiant yn mesur pa mor gyflym y mae ei werth yn newid mewn perthynas â newidiadau yn ei newidynnau annibynnol. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl problem enghreifftiol sy'n cynnwys ysgrifennu deilliad ffwythiant, ynghyd ag esboniadau.
Cwestiwn Enghraifft 1: Deilliad Ffwythiannau Syml
Cwestiwn: Dewch o hyd i ddeilliad cyntaf y ffwythiant \( f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \).
Trafodaeth:
I bennu deilliad cyntaf ffwythiant \( f(x) \), rydym yn defnyddio rheolau sylfaenol gwahaniaethu, sef:
\[
\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}
\]
Felly, gallwn gyfrifo deilliad pob term yn y ffwythiant fel a ganlyn:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7)
\]
\[
f'(x) = 3 ⋅ 2x^{2-1} + 5 ⋅ 1x^{1-1} + 0
\]
\[
f'(x) = 6x + 5
\]
Felly, deilliad cyntaf y ffwythiant \( f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \) yw \( f'(x) = 6x + 5 \).
Cwestiwn Enghraifft 2: Deilliadau Ffwythiannau Trigonometreg
Cwestiwn: Dewch o hyd i ddeilliad cyntaf y ffwythiant \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \).
Trafodaeth:
Rydym yn defnyddio'r rheolau deilliad sylfaenol ar gyfer ffwythiannau trigonometrig:
\[
\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
\]
\[
\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)
\]
Felly:
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) + \frac{d}{dx}(\cos(x))
\]
\[
g'(x) = \cos(x) – \sin(x)
\]
Felly, deilliad cyntaf y ffwythiant \(g(x) = \sin(x) + \cos(x) \) yw \(g'(x) = \cos(x) – \sin(x) \).
Cwestiwn Enghraifft 3: Deilliad o Swyddogaeth Lluosi
Cwestiwn: Dewch o hyd i ddeilliad cyntaf y ffwythiant \( h(x) = x^2 \sin(x) \).
Trafodaeth:
Ar gyfer ffwythiannau sy'n lluoswm o ddwy ffwythiant, rydym yn defnyddio'r rheol lluosi:
\[
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
Tybiwch fod \( u(x) = x^2 \) a \( v(x) = \sin(x) \). Yna:
\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
\]
Gan ddefnyddio'r rheol lluosi, gallwn ysgrifennu:
\[
h'(x) = [x^2]' \sin(x) + x^2 [\sin(x)]'
\]
\[
h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)
\]
Felly, deilliad cyntaf y ffwythiant (h(x) = x² sin(x)) yw (h'(x) = 2x sin(x) + x² cos(x)).
Cwestiwn Enghraifft 4: Deilliad Ffwythiant Cyfansoddi
Cwestiwn: Dewch o hyd i ddeilliad cyntaf y ffwythiant \( k(x) = \sin(x^2) \).
Trafodaeth:
Ar gyfer ffwythiannau sy'n gyfansoddiad o ddwy ffwythiant, rydym yn defnyddio'r rheol gadwyn:
\[
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\]
Gadewch i \(f(u) = \sin(u) \) ac \(u = x^2 \). Yna \(f'(u) = \cos(u) \) ac \(g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \).
Gan ddefnyddio'r rheol gadwyn, gallwn ysgrifennu:
\[
k'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x
\]
Felly, deilliad cyntaf y ffwythiant \(k(x) = \sin(x^2) \) yw \(k'(x) = 2x \cos(x^2) \).
Cwestiwn Enghraifft 5: Deilliad Ffwythiannau Rhesymegol
Problem: Dewch o hyd i ddeilliad cyntaf y ffwythiant \( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \).
Trafodaeth:
Ar gyfer ffwythiannau sy'n gymhareb o ddwy ffwythiant, rydym yn defnyddio'r rheol gymhareb:
\[
\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
Tybiwch \( u(x) = 2x \) a \( v(x) = x^2 + 1 \). Yna:
\[
u'(x) = 2
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
\]
Gan ddefnyddio'r rheol cymhareb, gallwn ysgrifennu:
\[
m'(x) = \frac{[2x]'(x^2 + 1) – 2x[x^2 + 1]'}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2(x^2 + 1) – 2x ⋅ 2x}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2x^2 + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{-(2x^2 – 2)}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
Felly, deilliad cyntaf y ffwythiant \( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) yw \( m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \).
Casgliad
Yn yr erthygl hon, rydym wedi trafod sawl enghraifft o broblemau sy'n cynnwys deilliadau ffwythiannau, yn amrywio o ffwythiannau syml, ffwythiannau trigonometreg, lluosi, cyfansoddi, a ffwythiannau rhesymegol. Mae pob enghraifft yn dangos y defnydd priodol o reolau deilliadau, megis y rheol sylfaenol, y rheol gadwyn, y rheol lluosi, a'r rheol cymhareb. Mae deall sut i gymhwyso'r rheolau hyn yn hanfodol ar gyfer datrys problemau calcwlws mwy cymhleth ar draws gwahanol ddisgyblaethau. Bydd ymarfer a hyfforddiant dro ar ôl tro yn helpu i gryfhau eich dealltwriaeth a'ch sgiliau wrth wahaniaethu ffwythiannau.
