Newtonův druhý zákon o rotačním pohybu

Článek o druhém Newtonově zákonu o rotačním pohybu

4.1 Vztah mezi momentem síly, momentem setrvačnosti a úhlovým zrychlením

Pokud na těleso o hmotnosti (m) působí výsledná síla (ΣF), pak se těleso pohybuje lineárně s určitým zrychlením (a). Vztah mezi výslednou silou, hmotností a zrychlením je vyjádřen rovnicí:

Σ F = ma

Toto je rovnice druhého Newtonova zákona.

Veličiny rotačního pohybu, které jsou shodné s výslednou silou (ΣF) při lineárním pohybu, jsou výsledný moment síly (Στ). Veličiny rotačního pohybu, které jsou shodné s hmotností (m) při lineárním pohybu, jsou momenty setrvačnosti (I). Veličiny rotačního pohybu, které jsou shodné se zrychlením (a) při lineárním pohybu, jsou úhlové zrychlení (α).

Pokud na těleso s určitým momentem setrvačnosti (I) působí výsledný moment síly (Στ), pak se těleso otáčí s určitým úhlovým zrychlením (α). Vztah mezi výsledným momentem síly, momentem setrvačnosti a úhlovým zrychlením je vyjádřen rovnicí:

Στ = Iα

Tato rovnice je rotační analogií druhého Newtonova zákona.

4.2 Ukázkové úlohy z druhého Newtonova zákona o rotačním pohybu

Ukázkový problém 1.

Plná kladka o hmotnosti 1 kg a poloměru 10 cm, na okrajích omotaná lanem, jeden konec lana zavěšený se závažím o hmotnosti 1 kg. Předpokládejme, že lano je bezhmotné. Určete velikost zrychlení závaží při volném pádu dolů. (g = 10 m/s²)

Řešení:

Známý:

F = w = mg = (1 kg)(10 m/s² ⁾ = 10 N

r = 0.1 m

Požadováno: Zrychlení zátěže

Řešení:

Nejprve vypočítejte moment setrvačnosti a moment síly.

Moment setrvačnosti pevné kladky:

I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.1 m) ^²

I = (0.5 kg)(0.01 m² ⁾ = 0.005 kg ^m²

Moment síly:

τ = F l = (10 N)(0.1 m) = 1 N m

Úhlové zrychlení:

Zrychlení zatížení:

a = r a = (0.1) (200) = 20 m/s ²

Ukázkový problém 2.

Pevná kladka o hmotnosti 2M a poloměru R je na okraji ovinuta lanem, na jednom konci lana je zavěšeno břemeno o hmotnosti m. Po odstranění břemene se kladka otáčí s úhlovým zrychlením. Pokud je kladka připevněna k předmětu o hmotnosti M tak, že se kladka otáčí se stejným úhlovým zrychlením, určete hmotnost břemene. (I kladky = 1⁄2 MR2 ⁾.

Řešení:

Známý:

Hmotnost pevné kladky: 2M

Poloměr pevné kladky: R

Hmotnost nákladu: m

Požadovaná hmotnost :

Řešení:

Vypočítejte moment setrvačnosti pevné kladky před a po připevnění těles o hmotnosti M:

Moment setrvačnosti 1: I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2

(2M)(R) ² = ^MR2

Moment setrvačnosti 2: I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2

(2M + M)(R) ² = 1⁄2 (3M)(R) ² = 1.5 ^MR2

Moment síly, kterou působí zatížení na kladku:

τ = Fl = (m)(g)(R)

Úhlové zrychlení kladky je stejné před i po připevnění předmětů o hmotnosti M.

Hmotnost nákladu = 1.5násobek hmotnosti původního nákladu.