Zachování mechanické energie – problémy a řešení
1. Z vrcholu hladké nakloněné roviny je uvolněn blok o hmotnosti m kg , jak je znázorněno na obrázku níže. Porovnání mezi gravitační potenciální energií a kinetickou energií bloku v bodě M je…
Řešení
Gravitační potenciální energie v bodě M:
PE M = mg (1/3h) = 1/3 mgh
Kinetická energie v bodě M:
KE M = EP = mg (2/3 h) = 2/3 mgh
EP M : EK M
1/3 mgh : 2/3 mgh
1/3 : 2/3
1 : 2
2. Lyžař sjíždí z výšky A, jak je znázorněno na obrázku níže. Pokud je počáteční rychlost = 0 a gravitační zrychlení je 10 ms -2 , jaká je pak rychlost lyžaře v bodě B?
Známý:
Počáteční rychlost (v o ) = 0
Gravitační zrychlení (g) = 10 m/ s²
Změna výšky = 50 metrů – 10 metrů = 40 metrů
Hledaná rychlost lyžaře v bodě B
Řešení:
Zákon zachování mechanické energie říká, že počáteční mechanická energie = konečná mechanická energie.
Počáteční mechanická energie = potenciální energie v bodě B (výška = 40 metrů)
Konečná mechanická energie = kinetická energie v bodě B
Konečná mechanická energie = Počáteční mechanická energie
½ mv t² = mgh
½ v t² = gh
½ v t² = (10)(50-10)
½ v t² = (10)(40)
½ v t² = 400
v t 2 = (2)(400) = 800
v t = √800 = √(2)(400) = 20√2 m/s
3. Těleso se začne klouzat z bodu A bez počáteční rychlosti. Pokud neexistuje žádná třecí síla, jaká je rychlost tělesa v nejnižším bodě?
Známý:
Hmotnost objektu = m
Počáteční rychlost (v o ) = 0
Výška (v) = 20 metru
Gravitační zrychlení (g) = 10 m/ s²
Hledaná: Konečná rychlost (v t )
Řešení:
Počáteční mechanická energie (ME1 ) = Gravitační potenciální energie v bodě A (PEA ) = mgh = (m)(10)(20) = 200 m
Konečná mechanická energie (ME² ) = kinetická energie (KE) = ½ mv t²
Rychlost objektu v nejnižším bodě (vt )?
Aplikace zákonu zachování mechanické energie říká, že počáteční mechanická energie = konečná mechanická energie.
EM1 = EM2
200 m = ½ mv t²
200 = ½ v t²
400 = v t 2
vt = 20 m/ s
4. Koule o hmotnosti 2 kg volně padá z bodu A, jak je znázorněno na obrázku níže (g = 10 ms -2 ). Po dosažení bodu B je kinetická energie rovna dvojnásobku potenciální energie. Jaká je výška bodu B nad povrchem Země?
Známý:
Hmotnost koule (m) = 2 kg
Gravitační zrychlení (g) = 10 ms -2
Výška bodu A (h A ) = 90 metrů
Hledá se: Výška bodu B (h B )
Řešení:
Po dosažení bodu B je kinetická energie míče v bodě B rovna dvojnásobku gravitační potenciální energie v bodě B.
EK = 2 EP
½ mv² = 2 mgh B
½ v 2 = 2 gh B
v² = 2 (2)(10) hB
v2 = 40 h B
Rychlost (v) míče, když dorazí do bodu B po volném pádu z bodu A:
v² = 2gh = 2(10)(90–hB ) = 20(90– hB )
Dosaďte v² do výše uvedené rovnice za v² do této rovnice.
v2 = 40 h B
20(90–h B ) = 40 h B
1800–20 h B = 40 h B
1800 = 40 hodin B + 20 hodin B
1800 = 60 hodin B
v B = 1800 / 60
h B = 30 metrů
5. Míč o hmotnosti 1 kg je vypuštěn a sklouzává dolů z bodu A do bodu C, jak je znázorněno na obrázku níže. Pokud je gravitační zrychlení = 10 ms -2 , jaká je kinetická energie míče, když dorazí do bodu C?
Známý:
Hmotnost koule (m) = 1 kg
Gravitační zrychlení (g) = 10 m/ s²
Změna výšky (h) = 0.75 m
Počáteční potenciální energie (PE o ) = mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 Joulů
Počáteční kinetická energie (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
Konečná gravitační potenciální energie (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Hledá se: Kinetická energie koule v bodě C
Řešení:
Počáteční mechanická energie (ME o ) = Konečná mechanická energie (ME t )
Počáteční gravitační potenciální energie (PE o ) + počáteční kinetická energie (KE o ) = Konečná gravitační potenciální energie (PE t ) + konečná kinetická energie (KE t )
7.5 joulů + 0 = 0 + KE t
7.5 Joulů = KE t
Kinetická energie koule v bodě C = 7.5 Joulů.
6. Z bodu A je vypuštěna koule o hmotnosti 2 kg, jak je znázorněno na obrázku níže. Rovina křivky je hladká. Pokud je gravitační zrychlení 10 ms -2 , jaká je kinetická energie koule v bodě B?
Známý:
Hmotnost koule (m) = 2 kg
Gravitační zrychlení (g) = 10 m/ s²
Změna výšky (v) = 120 cm = 1.2 metru
Počáteční gravitační potenciální energie (PE o ) = mgh = (2)(10)(1.2) = 24 Joulů
Počáteční kinetická energie (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
Konečná gravitační potenciální energie (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Hledá se: Kinetická energie koule v bodě B
Řešení:
Mechanická energie v bodě A (počáteční mechanická energie) = mechanická energie v bodě B (konečná mechanická energie)
Počáteční mechanická energie (ME o ) = konečná mechanická energie (ME t )
Počáteční gravitační potenciální energie (PE₂o₂ ) + počáteční kinetická energie (KE₂o₂ ) = konečná gravitační potenciální energie (PE₂t₂ ) + konečná kinetická energie ( KE₂t₂ )
24 joulů + 0 = 0 + KE t
24 Joulů = KE t
Kinetická energie (KE) koule v bodě C = 24 Joulů.
7. Objekt má pevnou mechanickou energii, větší kinetickou energii a menší gravitační potenciální energii. Objekt je…
A. V klidu
B. pohybovat se nahoru
C. pohyb dolů
D. Zrychlený vzhůru
Řešení:
Kinetická energie se zvětšuje, což znamená, že se zvětšuje rychlost objektu, a gravitační potenciální energie se zmenšuje, což znamená, že se zmenšuje výška objektu od povrchu půdy. K tomu dochází, když se objekt pohybuje z určité výšky dolů k zemi.
Vztah mezi rychlostí a kinetickou energií je znázorněn vzorcem pro kinetickou energii:
KE = ½ mV²
Popis vzorce: KE = kinetická energie, m = hmotnost, v = rychlost
Vztah mezi výškou a gravitační potenciální energií je znázorněn vzorcem pro gravitační potenciální energii:
PE = mgh
Popis vzorce: PE = gravitační potenciální energie, m = hmotnost, g = gravitační zrychlení, h = výška
Správná odpověď je C.
- Co je mechanická energie?
- Odpověď: Mechanická energie je součtem kinetické a potenciální energie objektu. Kinetická energie se vztahuje k pohybu objektu, zatímco potenciální energie se vztahuje k jeho poloze nebo konfiguraci.
- Co říká princip zachování mechanické energie?
- Odpověď: Princip říká, že v izolovaném systému, na který působí pouze konzervativní síly, zůstává celková mechanická energie konstantní. To znamená, že součet kinetické a potenciální energie se v čase nemění.
- Jak ovlivňují konzervativní a nekonzervativní síly zákon zachování mechanické energie?
- Odpověď: Konzervativní síly, jako je gravitace, nemění celkovou mechanickou energii systému. Mohou přeměnit potenciální energii na kinetickou energii a naopak, ale součet zůstává konstantní. Nekonzervativní síly, jako je tření, mohou mechanickou energii rozptylovat, obvykle ji transformovat na tepelnou energii.
- Proč se mechanická energie nezachovává v reálných situacích zahrnujících tření?
- Odpověď: Tření je nekonzervativní síla. Jak se objekty pohybují směrem k sobě, tření přeměňuje část mechanické energie systému na tepelnou energii, což vede ke snížení celkové mechanické energie systému.
- Jak se projevuje zákon zachování mechanické energie u kyvadla?
- Odpověď: V nepřítomnosti odporu vzduchu (nekonzervativní síla) se kyvadlo při kyvu nahoru přeměňuje na gravitační potenciální energii. V nejvyšším bodě kyvu má maximální potenciální energii a minimální kinetickou energii. Při zpětném kyvu dolů se tato potenciální energie přeměňuje zpět na kinetickou energii. Celková mechanická energie zůstává konstantní, i když se formy energie vzájemně mění.
- Proč se odrážející míč nakonec zastaví i bez působení vnějších sil?
- Odpověď: Když se míč odrazí, ne veškerá jeho kinetická energie se přemění zpět na energii potenciální. Část energie se ztratí, často jako zvuk nebo deformace míče, a to zejména v důsledku vnitřního tření v materiálu míče. Jedná se o formy nekonzervativních sil, které s každým odrazem snižují mechanickou energii míče, dokud se nezastaví.
- Kde je na horské dráze nejvyšší a nejnižší mechanická energie?
- Odpověď: Celková mechanická energie horské dráhy zůstává konstantní, pokud zanedbáme odpor vzduchu a tření. V nejvyšším bodě je však potenciální energie maximální, zatímco kinetická energie minimální. Při klesání se potenciální energie mění na kinetickou, takže v nejnižším bodě je kinetická energie maximální a potenciální energie minimální.
- Jak zákon zachování mechanické energie pomáhá porozumět planetárním drahám?
- Odpověď: Planety obíhající kolem hvězdy, jako je Slunce, mají jak kinetickou energii (díky svému pohybu), tak gravitační potenciální energii (díky své poloze vzhledem ke Slunci). Jak se planeta přibližuje ke Slunci, zrychluje, čímž se její kinetická energie zvyšuje, zatímco její gravitační potenciální energie klesá a naopak. Celková mechanická energie planety zůstává v čase konstantní, za předpokladu, že ostatní síly (například od jiných planet) jsou zanedbatelné.
- Proč družice na stabilní oběžné dráze nespadne na Zemi?
- Odpověď: I když je satelit skutečně přitahován k Zemi gravitací, jeho kinetická energie vpřed ho udržuje v pohybu na oběžné dráze. Rovnováha této kinetické energie a gravitační potenciální energie udržuje satelit na stabilní oběžné dráze s konstantní mechanickou energií.
- Pokud lyžař vyrazí z klidu na vrcholu beztlakového kopce a poté sjede dolů, jaká bude jeho rychlost dole v porovnání s tím, když vyrazí z kopce v polovině cesty dolů?
- Odpověď: Na svahu bez tření se celková mechanická energie lyžaře zachovává. Pokud začne úplně shora, bude mít na začátku více potenciální energie, než kdyby začal částečně dolů. Tato potenciální energie se při klesání zcela přemění na kinetickou energii. Pokud tedy začne nahoře, bude lyžař rychlejší dole, než kdyby začal částečně dolů.
