Zachování mechanické energie na křivkových plochách – problémy a řešení
1. Pokud je rychlost míče v bodě A 6 m/s, rychlost míče v bodě B je √92 m/s a gravitační zrychlení je g = 10 m/s² . Jaká je výška bodu B (h)?
Známý:
Rychlost míče v bodě A (vA) = 6 m/s
Rychlost míče v bodě B (v B ) = √92 m/s
Gravitační zrychlení (g) = 10 m/ s²
Výška A (h A ) = 5.6 metru
Výška B (h B ) = h
Hledá se: Výška bodu B (h)
Řešení:
Počáteční mechanická energie = gravitační potenciální energie
V bodě A je rychlost míče = 0, takže kinetická energie míče = 0. KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
Míč ve výšce 5.6 metrů, takže má gravitační potenciální energii. Gravitační potenciální energie : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m
Počáteční mechanická energie = gravitační potenciální energie + kinetická energie = 56 m + 0 = 56 m
Konečná mechanická energie = gravitační potenciální energie + kinetická energie
V bodě B je výška míče h. Gravitační potenciální energie: PE = mgh = m (10) h = 10 mh
Kinetická energie míče: KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (√92) 2 = 1/2 m (92) = 46 m
Konečná mechanická energie = gravitační potenciální energie + kinetická energie = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Zákon zachování mechanické energie:
Počáteční mechanická energie = konečná mechanická energie
56 m = m (10 h + 46)
56 = 10 h + 46
56 – 46 = 10 hodin
10 = 10 hodin
h = 10/10
v = 1 metrů
2.
Pokud je počáteční rychlost = 0, gravitační zrychlení = 10 m/s² , jaká je tedy rychlost ve výšce B?
Známý:
Počáteční rychlost (v o ) = 0
Počáteční výška (h o ) = 50 m – 10 m = 40 m
Konečná výška (ht ) = 0
Gravitační zrychlení (g) = 10 ms -2
Požadovaná: Konečná rychlost (v t )
Řešení:
Změna kinetické energie:
ΔKE = 1/2 m (v t 2 – v o 2 ) = 1/2 m (v t 2 – 0) = 1/2 mv t 2
Změna potenciální energie:
ΔPE = mg(ht – ho ) = m(10)(0-40) = m(10)(-40) = –400 m
Vypočítejte konečnou rychlost (v t ) pomocí rovnice zákonu zachování mechanické energie :
0 = ΔKE + ΔPE
0 = 1/2 mv t 2 – 400 m
1/2 mv t² = 400 m
1/2 v t² = 400
v t² = 2 (400)
v t = √(400)(2)
v t = 20√2 m/s
- Co se rozumí pod pojmem „zachování mechanické energie“?
- Odpověď: Zákon zachování mechanické energie znamená, že celková mechanická energie (součet kinetické a potenciální energie) izolovaného systému zůstává konstantní, pokud na něj působí pouze konzervativní síly, jako je gravitace.
- Jak si objekt pohybující se po zakřiveném povrchu (jako míč kutálející se po zakřivené rampě) zachovává svou mechanickou energii?
- Odpověď: Jak se objekt pohybuje po zakřivené ploše, potenciální energie se přeměňuje na kinetickou energii, ale celková mechanická energie zůstává konstantní, za předpokladu, že žádné nekonzervativní síly (jako je tření) nekonají práci.
- Pokud je míč uvolněn z klidu na vrcholu zakřivené rampy, jak se změní jeho kinetická energie při pohybu po rampě dolů?
- Odpověď: Kinetická energie míče se při pohybu po rampě zvyšuje, protože jeho potenciální energie klesá a přeměňuje se na kinetickou energii.
- Jak by se vyrovnala rychlost míče na dně zakřivené skluzavky v porovnání s rovnou skluzavkou stejné výšky, kdyby neexistovalo tření?
- Odpověď: Rychlost míče dole by byla stejná pro zakřivený i rovný skluz, protože přeměna potenciální energie na kinetickou závisí pouze na vertikální výšce, nikoli na uražené dráze.
- Proč by míč po sestupu z určité výšky nedosáhl své původní výšky, když se kutálí po zakřivené rampě?
- Odpověď: Pokud na míč působí nekonzervativní síly, jako je tření, budou konat práci proti pohybu a přeměňovat část mechanické energie míče na jiné formy, například teplo. V důsledku toho nemusí mít míč dostatek energie k dosažení své původní výšky.
- Pokud dva objekty různého tvaru (např. koule a krychle) sklouznou po zakřivené rampě ze stejné výšky bez kutálení, budou mít dole stejnou rychlost? Proč?
- Odpověď: Ano, budou mít stejnou rychlost dole. Za předpokladu, že se nevalí ani netře, je jediným faktorem určujícím jejich rychlost zákon zachování energie založený na počáteční výšce, nikoli jejich tvar.
- Jak zakřivení povrchu ovlivňuje normálovou sílu působící na těleso pohybující se po něm?
- Odpověď: Zakřivení způsobuje změnu směru normálové síly s pohybem objektu. Na konkávním vzestupném povrchu (jako je vnitřek mísy) je normálová síla větší ve spodní části kvůli dostředivé síle potřebné pro zakřivený pohyb. Naopak na konvexním povrchu se normálová síla může v nejvyšším bodě zmenšit nebo dokonce na nulu (objekt opouští povrch).
- Jakou roli hraje poloměr křivosti v zákonu zachování mechanické energie na zakřivené ploše?
- Odpověď: Samotný poloměr zakřivení přímo neovlivňuje zákon zachování mechanické energie. Může však ovlivnit normálovou sílu a v případě tření i množství energie ztracené v důsledku působení nekonzervativních sil.
- Pokud má dráha uprostřed prohlubeň (jako křivka ve tvaru U), jak se mění mechanická energie objektu, když se pohybuje prohlubní a nahoru po druhé straně?
- Odpověď: Potenciální energie objektu se bude snižovat s pohybem do prohlubně a jeho kinetická energie se bude zvyšovat. S pohybem na druhé straně se jeho kinetická energie bude snižovat a potenciální energie se bude zvyšovat. Pokud působí pouze konzervativní síly, celková mechanická energie zůstane po celou dobu pohybu konstantní.
- Může mít objekt při pohybu po zakřiveném povrchu jak translační, tak rotační kinetickou energii?
- Odpověď: Ano, pokud se objekt jako míč kutálí (bez prokluzování) po zakřiveném povrchu, bude mít translační kinetickou energii v důsledku pohybu svého těžiště a rotační kinetickou energii v důsledku rotace kolem své osy.
