Materiál o křížovém násobení s využitím komponent jednotkového vektoru
Vektorový součin můžeme vypočítat přímo, pokud známe složky vektorů. Postup je stejný jako pro skalární součin . Nejprve vynásobíme jednotkové vektory i , j a k . Vektorový součin mezi stejnými jednotkovými vektory je nula.
i x i = j x j = k x k = 0
S odkazem na dříve odvozenou rovnici pro násobení vektorů (A x B = AB hřích θ) a antikomutativní vlastnost násobení vektorů (A x B = - B x A), pak dostaneme:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Nyní vyjádříme vektory A a B pomocí jejich složek, rozložíme jejich součin a použijeme součin jednotkových vektorů.
A x B= (Axi + Ayj + Azk) X (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Protože i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, takže:
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx ( -k ) + AyBz ( i ) +
A_z_B_x ( j ) + A_z_B_y ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Pokud C = A x B , pak jsou složky C následující:
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
