Vektory nejsou obyčejná čísla, takže na ně nelze přímo aplikovat obyčejné násobení. Musíme použít vektorové násobení. Existují dva typy vektorového násobení: tečkové násobení a křížové násobení. Tečkové násobení se také nazývá skalární násobení, protože produkuje skalární veličinu. Křížové násobení se také nazývá vektorové násobení, protože produkuje vektorovou veličinu. Například existují dva vektory, a to A dan BSkalární násobení vektorů A dan B uvedl s AB K.Protože aréna používá tečkovou notaci, toto násobení se nazývá skalární součinVektorové násobení A dan B uvedl s A x BProtože používá notaci x, pak se toto násobení nazývá křížové násobení.
Například vzhledem k vektoru A dan B jak je znázorněno na obrázku níže. Skvrnitý součin mezi vektory A dan B zapsáno jako AB (A titik B).
Definovat skalární součin vektorů A dan B (AB), zobrazený vektor A a vektory Podle ykterý tvoří úhel θ. Dále nakreslíme projekci vektoru B ve směru vektoru ATato projekce je složkou vektoru B který je rovnoběžný s vektorem A, což má stejnou velikost jako B cos θ.
Definujeme tedy AB jako velký vektor A vynásobeno vektorovými složkami B který je rovnoběžný s AMatematicky to můžeme zapsat takto:
AB cos θ je běžné číslo (skalární). Proto se skalární součin nazývá také skalární součin. Co když skalární součin mezi vektory A dan B obráceně k BA než definujeme BA, nejprve nakreslíme projekci vektoru A k vektorům B (viz obrázek níže).
Na základě tohoto obrázku můžeme definovat BA jako velký vektor B vynásobeno vektorovými složkami A který je rovnoběžný s BMatematicky to můžeme zapsat takto:
Výsledek skalárního součinu AB = AB cos θ a výsledek skalárního součinu BA = BA cos θ. Protože AB cos θ = BA cos θ, pak platí AB = BA
Několik věcí o násobení tečkami, které byste měli vědět:
1. Skvrnitý součin splňuje komutativní zákon.
AB = BA
2. Skvrnitý součin splňuje distributivní zákon.
A. (B + C) = AB + AC
3. Pokud vektor A dan B kolmé k sobě, pak výsledek skalárního součinu AB = 0
Když vektor A dan B kolmé k sobě, pak je úhel, který spolu svírají, 90oCos 90o = 0. Tedy: AB = AB cos sýkorka = AB cos 90o = 0. Na druhou stranu, BA = BA cos sýkorka = BA cos 90o = 0
4. Pokud vektor A a vektory B jednosměrný, takže AB = AB cos 0o = AB
Když vektor A dan B ve stejném směru, pak úhel, který svírají, je 0oCos 0 = 1. Tedy AB = AB cos sýkorka = AB cos 0o = ABNaopak BA = BA cos sýkorka = BA cos 0o = BA
(Neměli byste si být zaměňováni s AB dan BAVelký AB = velký BANapříklad velikost vektoru A = 2. velikost vektoru B = 3. pak AB = 2.3 = 6; to je stejné jako BA = 3.2 = 6.
5. Další podmínkou pro to, aby dva vektory byly ve stejném směru, je, pokud A = B poté získané AA = A2 atau BB = B2
6. Pokud vektor A dan B opačný směr (když dva vektory svírají opačný směr, pak je úhel, který mezi nimi je, 180°), pak výsledek násobení AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
Cos 180º = -1.
Příklad problémů:
Vektor A má velikost 4 jednotek a je vektorem B má 3 jednotky. Určete skalární součin dvou vektorů, pokud úhly, které tyto dva vektory svírají, jsou 60º, 90º a 180º.o
Diskuse
Protože AB = BA pak si můžeme vybrat, zda jeden použijeme. Například použijeme AB
AB = AB cos sýkorka
Velký A = 4 jednotky a velké B = 3 jednotky.
