Materiál pro násobení teček s využitím komponent jednotkového vektoru
Skalární součin můžeme vypočítat přímo, pokud známe složky x, y a z vektorů A a B (známé vektory).
Abychom tímto způsobem vypočítali skalární součin, nejprve vypočítáme skalární součin jednotkových vektorů, poté vyjádříme vektory A a B v jejich složkách, rozložíme součin a použijeme součin jednotkových vektorů.
Jednotkové vektory i , j a k jsou na sebe kolmé, což usnadňuje výpočty. Pomocí výše odvozené rovnice pro skalární násobení ( AB = AB cos theta ) získáme:
i. i = j.j = k.k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i. k = j. k = (1)(1) cos 90 o = 0
Nyní vyjádříme vektory A a B pomocí jejich složek, rozložíme jejich součin a použijeme součin jednotkových vektorů.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Protože i . i = j . j = k . k = 1 a i . j = i . k = j . k = 0, pak:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A. B = A × B × (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + Az Bz ( 1 )
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Na základě výsledků tohoto výpočtu lze usoudit, že skalární součin neboli skalární součin dvou vektorů je součtem součinů jejich podobných složek.
Příklad otázky 1:
Velký vektor A dan B jsou 5 a 4, jak je znázorněno na obrázku níže. Úhel, který svírají, je 90oSpočítej to skalární součin oba vektory.
Diskuse
Než vypočítáme skalární součin vektorů A a B, musíme nejprve znát složky druhého vektoru.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
Ay = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
By = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Vektor A má vektorové složky pouze na ose x a vektor B má vektorové složky pouze na ose y. Složka z je nulová, protože vektory A a B leží v rovině xy.
Nyní vypočítáme skalární součin mezi vektory A a B pomocí rovnice skalárního součinu s komponentními vektory:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Porovnejme to s první metodou
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Výsledek je stejný.
Příklad otázky 2:
Velký vektor A dan B jsou 5 a 4, jak je znázorněno na obrázku níže. Vypočítejte skalární součin oba vektory, pokud je úhel, který svírají, 30o
Diskuse
Než vypočítáme skalární součin vektorů A a B, musíme nejprve znát složky druhého vektoru.
Složka z je nulová, protože vektory A a B leží v rovině xy.
Nyní vypočítáme skalární součin mezi vektory A a B pomocí rovnice skalárního součinu s komponentními vektory:
Porovnejte s první metodou.
