Věta o kinetické energii říká, že celková práce neboli úsilí vykonané čistou silou na těleso se rovná změně kinetické energie tělesa. Pokud čistá síla vykonává kladnou práci (čistá síla je ve stejném směru jako posunutí), pak se kinetická energie tělesa zvyšuje. Naopak, pokud čistá síla vykonává zápornou práci (čistá síla je v opačném směru než posunutí), pak se kinetická energie tělesa snižuje.
W celkem = EK 2 – EK 1 = ½ mv 2 2 – ½ mv 1 2
Pokud na objekt působí pouze konzervativní síly , jako v případě volně padajícího objektu , pak se výsledná síla rovná konzervativní síle. Tvrzení o práci a kinetické energii lze převést na celkovou práci, neboli práci vykonanou konzervativní silou, která se rovná změně kinetické energie. Pokud konzervativní síla vykonává kladnou práci (konzervativní síla je ve stejném směru jako posunutí), pak se kinetická energie objektu zvyšuje. Naopak, pokud konzervativní síla vykonává zápornou práci (konzervativní síla je v opačném směru než posunutí), pak se kinetická energie objektu snižuje.
W c = EK 2 – EK 1 = ½ mv 2 2 – ½ mv 1 2
Práce, kterou konzervativní síla vykoná na těleso, se rovná záporné změně potenciální energie tělesa. Pokud konzervativní síla vykoná kladnou práci, potenciální energie se sníží. Naopak, pokud konzervativní síla vykoná zápornou práci, potenciální energie se zvýší.
W c = – (EP² – EP¹ ) = – mg (h² – h¹ ) = – mgh² + mgh¹ = mgh¹ – mgh²
Na základě předchozího přehledu se zdá, že existuje vztah mezi prací vykonanou konzervativní silou na tělese a změnami kinetické a potenciální energie tělesa. Pokud konzervativní síla vykonává kladnou práci, kinetická energie se zvyšuje, zatímco potenciální energie klesá. Pokud konzervativní síla vykonává zápornou práci, kinetická energie klesá, zatímco potenciální energie roste.
W c = W c
EK 2 – EK 1 = EP 1 – EP 2
EP 1 + EK 1 = EP 2 + EK 2
EM 1 = EM 2
keterangan:
EM 1 = počáteční mechanická energie, EM 2 = konečná mechanická energie, EP 1 = počáteční potenciální energie, EP 2 = konečná potenciální energie, EK 1 = počáteční kinetická energie, EK 2 = konečná kinetická energie
Příklad problémů
1. Blok je uvolněn bez počáteční rychlosti z vrcholu hladké nakloněné roviny (v bodě A). Blok sklouzne ke spodní části sklonu (v bodě E).
Pokud AB = BC = CD = DE, pak poměr rychlostí bloků v bodech C, D a E je…
Diskuse
Je známo:
AB + BC + CD + DE = 1
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
Otázka: Porovnání rychlosti bloků v bodech C, D a E.
Džaváb:
Zákon zachování mechanické energie říká, že počáteční mechanická energie = konečná mechanická energie.
Počáteční mechanická energie = gravitační potenciální energie
Konečná mechanická energie = kinetická energie
Nahoře je blok v klidu, takže jeho kinetická energie je nulová a jeho gravitační potenciální energie je maximální. Jak se pohybuje z horního bodu svahu do dolního bodu, jeho gravitační potenciální energie klesá a přeměňuje se na kinetickou energii. Když dosáhne dolního bodu svahu, jeho kinetická energie je maximální a jeho gravitační potenciální energie je nulová.
Gravitační potenciální energie v bodě A = mgh = mg (4/4) = 4/4 mg
Kinetická energie v bodě A = 1/2 mv² = 1/2 m ( 0² ) = 0
Gravitační potenciální energie v bodě B = mgh = mg (3/4) = 3/4 mg
Kinetická energie v bodě B = 1/2 mv²
Gravitační potenciální energie v bodě C = mgh = mg (2/4) = 2/4 mg
Kinetická energie v bodě C = 1/2 mv²
Gravitační potenciální energie v bodě D = mgh = mg (1/4) = 1/4 mg
Kinetická energie v bodě D = 1/2 mv²
Gravitační potenciální energie v bodě E = mgh = mg(0) = 0
Kinetická energie v bodě E = 1/2 mv²
Mechanická energie v bodě A = Gravitační potenciální energie + kinetická energie = 4/4 mg + 0 = 4/4 mg = mg
Mechanická energie v bodě B = Gravitační potenciální energie + kinetická energie = 3/4 mg + 1/2 mV²
Mechanická energie v bodě C = Gravitační potenciální energie + kinetická energie = 2/4 mg + 1/2 mv²
Mechanická energie v bodě D = Gravitační potenciální energie + kinetická energie = 1/4 mg + 1/2 mV²
Mechanická energie v bodě E = Gravitační potenciální energie + kinetická energie = 0 + 1/2 mv² = 1/2 mv²
Rychlost bloku v bodě C:
Mechanická energie v bodě C = počáteční mechanická energie (konstantní mechanická energie)
2/4 mg + 1/2 mv² = 4/4 mg
1/2 mv² = 4/4 mg – 2/4 mg
1/2 mv² = 2/2 mg
1/2 mv² = 1/2 mg
mv² = mg
v² = g
v = √g
Rychlost bloku v bodě D:
Mechanická energie v bodě D = počáteční mechanická energie (konstantní mechanická energie)
1/4 mg + 1/2 mv² = 4/4 mg
1/2 mv² = 4/4 mg – 1/4 mg
1/2 mv² = 3/4 mg
1/2 v 2 = 3/4 g
v² = 2 (3/4) g
v² = (6/2) g
v² = (3/2) g
v2 = 1,5 g
v = √1,5 g
Rychlost bloku v bodě E:
Mechanická energie v bodě E = počáteční mechanická energie (konstantní mechanická energie)
1/2 mv² = mg
1/2 v 2 = g
v² = 2g
v = √2 g
Porovnání rychlosti bloků v bodech C, D a E:
√ g : √1,5 g : √2 g
√ 1 : √ 1,5 : √ 2 (vynásobte 2)
√ 2 : √ 3 : √ 4
√ 2 : √ 3 : 2
2. Podívejte se na následující obrázek!
Dva objekty sestupují po dráze z bodu A. Hmotnost prvního objektu je m1 = 5 kg a druhého objektu je m2 = 15 kg. Pokud je gravitační zrychlení g = 10 m s -2 , pak poměr kinetické energie Ek1 : Ek2 v bodě B je…
A. 1 : 2
B. 1 : 3
C. 1:9
O. 2:1
E. 3:1
Diskuse
Je známo, že:
Hmotnost objektu 1 (m² ) = 5 kg
Hmotnost objektu 2 (m² ) = 15 kg
Gravitační zrychlení (g) = 10 m/ s²
Vzdálenost mezi body A a B (h) = 40 m – 30 m = 10 m
Otázka: Porovnání kinetické energie Ek 1 : Ek 2 v bodě B
Odpověď:
Gravitační potenciální energie objektu v bodě A se měří z bodu B:
EP² = m²gh = (5 kg)(10 m/s² ) ( 10 m) = 500 Joulů
EP² = m²gh = (15 kg)(10 m/s² ) ( 10 m) = 1500 Joulů
Zákon zachování mechanické energie říká, že počáteční mechanická energie = konečná mechanická energie.
Počáteční mechanická energie = gravitační potenciální energie
Konečná mechanická energie = kinetická energie
EP 1 = EK 1
500 Joulů = EK²
EP 2 = EK 2
1500 Joulů = EK²
PŘÍKLAD 1 : PŘÍKLAD 2
500 : 1500
5 : 15
1 : 3
Správná odpověď je B.
3. Podívejte se na obrázek!
Kulička o hmotnosti m se kutálí z bodu A po hladké půlkruhové rovině bez počáteční rychlosti. Rychlost kuličky v bodě B je…
A. 10 ms-1
B. 2 √10 ms -1
C. √ 10 m.s -1
D. 2 √5 ms -1
E. √ 5 m.s -1
Diskuse
Je známo, že:
Výškový rozdíl mezi body A a B (h) = 4 m – 2 m = 2 metry
Gravitační zrychlení (g) = 10 m/ s²
Hmotnost mramoru (m) = m
Otázka: Rychlost kuličky v bodě B
Odpověď:
Počáteční mechanická energie = mechanická energie v bodě A = gravitační potenciální energie = mgh = (m)(10)(2) = 20m
Konečná mechanická energie = mechanická energie v bodě B = kinetická energie = 1/2 mV²
Zákon zachování mechanické energie:
Počáteční mechanická energie = konečná mechanická energie
20 m = 1/2 mv²
20 = 1/2 v 2
2 (20) = v²
40 = v 2
v = √40
v = √(4)(10)
v = 2√10 m/s
Správná odpověď je B.
4. Míč klouže po kluzké dráze, jak je znázorněno na obrázku níže.
Pokud je rychlost míče v bodě A 6 ms⁻¹ , v bodě B √ 92 ms⁻¹ a g = 10 ms⁻² , pak je výška bodu B od dna dráhy...
A. 0,5 m
B. 0,5 √ 2 m
cca 1 m
D. √ 2 m
V. 2,8 m
Diskuse
Je známo, že:
Rychlost míče v bodě A (v A ) = 6 ms -1
Rychlost míče v bodě B (v B ) = √ 92 ms -1
Gravitační zrychlení (g) = 10 ms -2
Výška A (h A ) = 5,6 metrů
Výška B (h B ) = h
Otázka: Výška bodu B od spodní části koleje
Odpověď:
Dráha je kluzká, takže nedochází k žádnému tření. Jedinou silou působící na objekt je tedy gravitace. Gravitace je konzervativní síla. Práce vykonaná konzervativní silou nezávisí na tvaru dráhy, ale spíše na změně její polohy.
Výšku bodu B od spodní části koleje tedy můžeme vypočítat pomocí vzorce pro zákon zachování mechanické energie.
Počáteční mechanická energie = gravitační potenciální energie
V bodě A se míč ještě nepohybuje, takže jeho rychlost je nulová. Rychlost míče je nulová, takže kinetická energie míče je nulová. Kinetická energie: EK = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
Ale míč je ve výšce 5,6 metrů ode dna, takže má gravitační potenciální energii. Gravitační potenciální energie: EP = mgh = m (10)(5,6) = 56 m
Počáteční mechanická energie = Gravitační potenciální energie + Kinetická energie = 56 m + 0 = 56 m
Konečná mechanická energie = Gravitační potenciální energie + Kinetická energie
V bodě B je výška míče h. Gravitační potenciální energie: EP = mgh = m (10) h = 10 mh
Bod B je hluboko pod bodem A, takže míč se stále pohybuje určitou rychlostí. Míč se stále pohybuje určitou rychlostí, takže má kinetickou energii. Kinetická energie: EK = 1/2 mv 2 = 1/2 m ( √ 92 ) 2 = 1/2 m ( 92) = 46 m
Konečná mechanická energie = Gravitační potenciální energie + Kinetická energie = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Zákon zachování mechanické energie:
Počáteční mechanická energie = Konečná mechanická energie
56 m = m (10 h + 46)
56 = 10 h + 46
56 – 46 = 10 hodin
10 = 10 hodin
v = 10/10 = 1 metr
Správná odpověď je C.
Zdroj otázky:
Otázky z fyziky k celostátní zkoušce pro středoškolské/odborné gymnázium
