11 příkladů úloh rovnoměrného kruhového pohybu
1. Částice se pohybuje po kružnici s konstantní úhlovou rychlostí 10 rad/s. Určete (a) úhlovou rychlost částice po 10 sekundách (b) úhel, který částice svírá po 10 sekundách.
Diskuse
(a) úhlová rychlost po 10 sekundách
Částice se pohybuje po rovnoměrné kružnici = částice se pohybuje konstantní úhlovou rychlostí. Úhlová rychlost tedy po 10 sekundách zůstává 10 radiánů/sekundu.
(b) úhel, který svírá po 10 sekundách
Konstantní úhlová rychlost 10 radiánů/sekundu znamená, že každou 1 sekundu se částice otočí o úhel 10 radiánů. Po 2 sekundách se částice otočí o úhel 2 x 10 = 20 radiánů. Po 10 sekundách se částice otočí o úhel 10 x 10 radiánů = 100 radiánů.
2. Bod na okraji válce se pohybuje po kružnici konstantní rychlostí 10 m/s. Poloměr válce = 1 metr. Určete (a) rychlost okraje válce o 5 sekund později (b) vzdálenost, kterou okraj válce urazí o 5 sekund později (c) dostředivé zrychlení bodů, které jsou od osy otáčení vzdáleny 0,5 metru a 1 metr.
Diskuse
() rychlost bodu na okraji válce po 5 sekundách
Válec se pohybuje po kruhu konstantní rychlostí, proto po 5 sekundách zůstává rychlost okraje válce 10 metrů za sekundu.
(B) vzdálenost, kterou bod na okraji válce urazí po 5 sekundách
Bez vzorce
Rychlost 10 metrů/s znamená, že každou 1 sekundu se bod na okraji válce posune o 10 metrů. Po 1 sekundě se bod na okraji válce posune o 10 metrů. Po 2 sekundách se bod na okraji válce posune o 20 metrů. Po 5 sekundách se bod na okraji válce posune po kružnici o 50 metrů.
Použití vzorce :
v = s / t
s = vt = (10)(5) = 50 metrů
(C) dostředivé zrychlení (as)
Dostředivé zrychlení bodu vzdáleného 0,5 metr od osy je:
as = v2 / r = 102 / 0,5 = 100 / 0,5 = 200 m/s2
Dostředivé zrychlení bodu vzdáleného 1 metr od osy je:
as = v2 / r = 102 / 0,5 = 100 / 1 = 100 m/s2
3. Točna o poloměru 2 metry se pohybuje konstantní úhlovou rychlostí 60 ot/min. Určete (a) úhlovou rychlost točny o 2 sekundy později (b) úhel, který točna svírá po 1 minutě (b) tečnou rychlost, dostředivé zrychlení a vzdálenost uraženou bodem vzdáleným 1 metr od osy otáčení (c) tečnou rychlost, dostředivé zrychlení a vzdálenost uraženou bodem na okraji točny.
Diskuse
Je známo :
Jawab :
() úhlová rychlost ( ) po 2 sekundách
Úhlová rychlost je konstantní, proto po 2 sekundách zůstane úhlová rychlost točny 6,28 radiánů/s.
(B) roh ( ) obklopený otočným talířem po 1 minutě
Úhlová rychlost 1 otáčka/sekundu znamená, že každou sekundu otočný talíř vykoná jednu otáčku. Po 60 sekundách otočný talíř vykoná 60 otáček. Nebo, jinak řečeno,
Úhlová rychlost 6,28 radiánů/s znamená, že každou sekundu se točna otočí o úhel 6,28 radiánů. Po 60 sekundách se točna otočí o úhel 376,8 radiánů.
4. Kolo automobilu se vždy otočí o 120 otáček za 60 sekund. Jaká je úhlová rychlost kola? Vyjádřete ji: (a) otáčky za minutu (min) nebo otáčky za minutu (b) stupně za sekundu (o/s) (c) radiány za sekundu (rad/s)
Diskuse
() úhlová rychlost kola v jednotkách otáček za minutu (ot/min)
120 otáček / 60 sekund = 120 otáček / 1 minuta = 120 otáček / minuta = 120 ot/min
(B) úhlová rychlost kola ve stupních/sekundu (o/ s)
1 otáčka = 360o120 otáček = 43200o
Takže 120 otáček / 60 sekund = (120)(360o) / 60 sekund = 43200o / 60 sekund = 720o/druhý
(C) úhlová rychlost kola v radiánech/sekundu (rad/s)
1 otáčka = 6,28 radiánů
Takže 120 otáček / 60 sekund = (120)(6,28) radiánů / 60 sekund = 753,6 radiánů / 60 sekund = 12,56 radiánů/sekundu
5. Kulička se točí v kruhové míse o průměru 1 m. Pokud se kulička otáčí kolem okraje mísy konstantní úhlovou rychlostí 50 ot/min, pak lineární rychlost a dostředivé zrychlení kuličky jsou….
A. 50 ms-1 a 2500 ms-2
B. 5π ms-1 a 25π2 slečna-2
C. 5π/3 ms-1 a 25π2/18 ms-2
D. 5π/6 ms-1 a 25π2/18 ms-2
E. 5π/12 ms-1 a 25π2/36 ms-2
Diskuse
Je známo, že:
Průměr kruhu (D) = 1 metr
Poloměr kružnice (r) = 0,5 metru
Úhlová rychlost (ω) = 50 ot/min = 50 otáček / 1 minuta
1 otáčka = 2π radiánů
50 otáček = 50 (2π radiánů) = 100π radiánů
1 minuta = 60 sekund
Úhlová rychlost (ω) = 100π radiánů / 60 sekund = (10π/6) radiánů/sekundu
Otázka: Lineární rychlost (v) a dostředivé zrychlení (a)s)
Odpověď:
Lineární rychlost (v):
v = r ω = (0,5) (10π/6) = 5π/6 m/s
Dostředivé zrychlení (a)s):
as = v2/r = (5π/6)2 : 0,5 = 25π2/36 : 0,5 = (25π2/36)(1/0,5)
as = (25π2/18) m/s2
Správná odpověď je D.
6. Objekt se pohybuje po kružnici o poloměru 50 cm. Pokud se objekt otáčí rychlostí 120 ot/min, pak je doba otáčení a rychlost objektu….
A. 0,5 s a 2π ms-1
B. 0,5 s a 0,2π ms-1
C. 0,5 s a π ms-1
D. 2 s a 5π ms-1
E. 2 s a 10π ms-1
Diskuse
Je známo, že:
Poloměr (r) = 50 cm = 0,5 metru
Úhlová rychlost (ω) = 120 ot/min = 120 otáček / 1 minuta = 120 otáček / 60 minut = 2 otáčky / 1 sekunda
1 otáčka = 2π radiánů
Úhlová rychlost (ω) = 2 (2π radiánů) / 1 sekunda = 4π radiánů/sekundu
Otázka: Doba otáčení (T) a lineární rychlost (v)
Odpověď:
Doba cyklu nebo perioda (T):
Perioda je doba, za kterou objekt dokončí jednu otáčku.
Objekt vykoná 2 otáčky za 1 sekundu = objekt vykoná 1 otáčku za 0,5 sekundy. Doba otáčení nebo perioda otáčení je tedy 0,5 sekundy.
Rychlost objektu (v):
v = r ω = (0,5 metru)(4π radiánů/sekundu) = 2π metrů/sekundu
Správná odpověď je A.
Pro lepší pochopení diskuse o této otázce si prostudujte materiál o kruhovém pohybu a pravidelném kruhovém pohybu .
7. Kolo o poloměru 10 cm se otáčí rovnoměrně a vykoná 180 otáček za minutu. Lineární rychlost bodu na okraji kola je…
Diskuse
Je známo, že:
Zeptal se:
Lineární rychlost (v) ?
Odpověď:
Bod na okraji kola je 0,1 metru od středu kola.
Správná odpověď je A.
8. Objekt se pohybuje konstantní rychlostí v po kružnici o poloměru R s dostředivým zrychlením (as). Aby se dostředivé zrychlení stalo trojnásobkem původního, pak...
A. v se vytvoří 4krát a R se vytvoří znovu 2krát
B. v se vytvoří 2krát a R se vytvoří znovu 4krát
C. v se vytvoří 3krát a R se vytvoří znovu 3krát
D. v zůstává a R se opět zdvojnásobí
E. v se opět zdvojnásobí a R zůstává
Diskuse
Správná odpověď je C.
9. Kola A, B a C jsou vzájemně spojena, jak je znázorněno na obrázku. Pokud jsou poloměry kol A, B a C 10 cm, 4 cm a 2 cm a kolo B se otáčí úhlovou rychlostí 5 rad.s-1 pak se kolo C otáčí úhlovou rychlostí….
A. 80 rad.s-1
B. 55 rad.s-1
Cca 40 rad.s-1
D. 25 rad.s-1
E. 10 rad.s-1
Diskuse
Je známo, že:
Odpověď:
Vztah mezi kolem A a kolem B
Kola A a B jsou k sobě připojena, takže se otáčejí společně. Protože se otáčejí společně, úhlová rychlost kola A = úhlová rychlost kola B.
Vztah mezi kolem A a kolem C
Obvod kola A je mnohem větší než obvod kola C. Pokud kolo C zaujalo úhel 360o nebo proveďte jednu otáčku, ve stejném čase kolo A nedosáhlo 360o nebo jednu otáčku. Úhlová rychlost kola A tedy není stejná jako úhlová rychlost kola C.
Kola A a C jsou však spojena lanem. Protože jsou spojena lanem, je během stejného časového intervalu vzdálenost ujetá hranou kola A stejná jako vzdálenost ujetá hranou kola C. Lineární rychlost kola A je tedy stejná jako lineární rychlost kola B.
Závěr:
Správná odpověď je D.
10. Objekt srovnoměrný kruhový pohyb s poloměrem 6 metrů. Pokud objekt za 2 minuty provede 16 otáček, pak lineární rychlost objekt je….
A. 0,8 p ms-1
B. 1,0 p ms-1
C. 1,2 p ms-1
D. 1,4 p ms-1
E. 1,6 p ms-1
Diskuse
Je známo, že:
Poloměr (r) = 6 metrů
Úhlová rychlost (ω) = 16 otáček / 2 minuty = 8 otáček / minuta = 8 otáček / 60 sekund = 0,13 otáček / sekunda.
Otázka: lineární rychlost (v)?
Odpověď:
Vzorec pro vztah mezi lineární rychlostí (v) a úhlová rychlost (ω) :
v = r ω = (6 metrů)(0,13 otáčky/sekundu) = 0,8 otáčky metru/sekundu
Správná odpověď je A.
Pokud je vyjádřeno v radiánech:
1 otáčka = 2π radiánů = 2(3,14) = 6,28 radiánů
Úhlová rychlost = 8 (6,28) radiánů / 60 sekund = 50,24 radiánů / 60 sekund = 0,84 radiánů/sekundu
v = r ω = (6 metrů)(0,84 radiánů/sekundu) = 5,04 radiánů/sekundu
11. Vrtule ventilátoru o poloměru 20/π cm se může otočit 4krát za 1 sekundu. Lineární rychlost konce vrtule je…
A. 3,2 ms-1
B. 1,6 ms-1
C. 1,3 ms-1
D. 1,0 ms-1
E. 0,8 ms-1
Diskuse
Je známo, že:
Poloměr (r) = 20/π m = 20 / 3,14 cm = 6,4 cm = 0,064 metru
Úhlová rychlost (ω) = 4 otáčky / 1 sekunda = 4 otáčky/sekundu
1 otáčka = (2)(3,14) radiánů = 6,28 radiánů
Úhlová rychlost (ω) = (4)(6,28) radiánů/sekundu = 25,12 radiánů/sekundu
Otázka: lineární rychlost (v) špičky vrtule?
Odpověď:
v = r ω = (0,064 metru)(25,12 radiánů/sekundu) = 1,6 metru/sekundu
Správná odpověď je B.
