Analisi di sopravvivenza in statistica
L'analisi di sopravvivenza hè una branca di a statistica chì si cuncentra nantu à a modellazione è l'analisi di u tempu finu à chì un avvenimentu si verifica. Questu avvenimentu puderia esse a morte di un paziente, una ricorrenza di una malattia, un guastu di un cumpunente di a macchina, un churn di clienti, o u tempu finu à chì una persona in cerca di travagliu trova un impiegu. U vantaghju principale di l'analisi di sopravvivenza rispetto à altre tecniche statistiche reside in a so capacità di trattà dati incompleti per via di a censura, vale à dì quandu un avvenimentu ùn si verifica micca finu à a fine di u periodu d'osservazione o ùn hè micca cumpletamente osservatu.
In a ricerca medica, l'analisi di sopravvivenza hè spessu aduprata per paragunà l'efficacità di e terapie basate annantu à u tempu di sopravvivenza; in ingegneria, per stimà a durata di vita di i cumpunenti; è in l'affari, per prevede a fidelizazione di i clienti. Cumbinendu i cuncetti di probabilità, stima non parametrica è mudelli di regressione, l'analisi di sopravvivenza diventa un strumentu cruciale in a presa di decisioni basata annantu à i dati.
Cuncetti basi: tempu di l'avvenimentu è censura
À u core di l'analisi di sopravvivenza ci hè una variabile aleatoria \(T\) chì rapprisenta u tempu finu à chì un avvenimentu si verifica. Per esempiu, \(T\) puderia esse u numeru di ghjorni dopu a terapia finu à chì un paziente sperimenta una ricaduta. Tuttavia, i circadori spessu ùn osservanu micca \(T\) in a so interezza. Ci sò parechje forme cumuni di censura:
1. Censura à diritta: Questu accade più spessu, per esempiu, quandu un paziente ùn hà micca sperimentatu un avvenimentu à a fine di u studiu, o quandu u paziente abbanduneghja u studiu. Sapemu solu chì \(T\) hè più grande di l'ultima volta osservata.
2. Censura à manca (censore à manca): L'eventu hè accadutu prima di l'iniziu di l'osservazione, ma l'ora esatta hè scunnisciuta.
3. Intervallu di censura: L'eventu hè cunnisciutu per esse accadutu trà dui tempi d'osservazione (per esempiu, un paziente hè esaminatu mensilmente è l'eventu hè cunnisciutu per esse accadutu trà u 2u è u 3u mese).
A maiò parte di i metudi basi populari (cum'è i mudelli Kaplan-Meier è Cox) si cuncentranu nantu à u casu di a censura à diritta.
Funzioni di sopravvivenza è di periculu
L'analisi di sopravvivenza usa duie funzioni principali:
1) Funzione di sopravvivenza
A funzione di sopravvivenza hè definita cusì:
\[
S(t) = P(T > t)
\]
Vale à dì, \(S(t)\) hè a probabilità chì un individuu/ughjettu sopravviva dopu à u tempu \(t\). Per esempiu, \(S(12)=0{,}80\) pò esse interpretatu cum'è significhendu chì si prevede chì 80% di i sughjetti ùn anu micca sperimentatu l'eventu da 12 mesi.
2) Funzione di periculu
A funzione di risicu (tassa di risicu) descrive u risicu di un avvenimentu "avà" sempre chì u sughjettu sopravviva finu à quellu tempu:
\[
h(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P(t \le T < t+\Delta t \mid T \ge t)}{\Delta t} \] U periculu ùn hè micca una probabilità, ma un tassu. In un cuntestu medicu, un periculu più altu significa un risicu più altu di sperimentà un avvenimentu in quellu mumentu per l'individui sopravviventi. Quessi dui cuncetti sò ligati da: \[ S(t) = \exp\left(-\int_0^th(u)\,du\right) \] Sta relazione hè impurtante perchè certi mudelli si focalizanu nantu à u periculu è dopu degradanu a sopravvivenza, o vice versa. Stima non parametrica: Kaplan-Meier Unu di i metudi più cunnisciuti in l'analisi di sopravvivenza hè u stimatore Kaplan-Meier, chì hè una stima non parametrica di a funzione di sopravvivenza senza suppone una distribuzione specifica. Stu stimatore custruisce una curva di sopravvivenza cum'è u pruduttu di e probabilità di sopravvivenza à ogni mumentu di l'avvenimentu. Cuncettualmente, Kaplan-Meier calcula: - à ogni tempu di l'eventu \(t_i\), - \(d_i\) = numeru di eventi à \(t_i\), - \(n_i\) = numeru di sughjetti "à risicu" ghjustu prima di \(t_i\), tandu: \[ \hat{S}(t) = \prod_{t_i \le t}\left(1 - \frac{d_i}{n_i}\right) \] I vantaghji di Kaplan-Meier sò: - faciule da interpretà per mezu di curve di sopravvivenza, - pò gestisce a censura à diritta, - utile per l'esplorazione di dati è i paragoni di gruppi. Tuttavia, Kaplan-Meier hè principalmente descrittivu. Per verificà se duie curve di sopravvivenza sò significativamente diverse, u test log-rank hè spessu adupratu. Paragone di gruppi: test log-rank U test log-rank hè adupratu per verificà l'ipotesi s'ellu ci hè una differenza di sopravvivenza trà dui (o più) gruppi, per esempiu u gruppu di terapia A vs u gruppu di terapia B. Stu test paraguna u numeru di eventi "osservati" cù u numeru "previstu" à ogni mumentu di l'eventu, tenendu contu di u numeru di sughjetti sempre à risicu.
