Moment d'inèrcia

1. Moment d'inèrcia de la partícula

Reviseu una partícula en rotació. A la partícula amb massa m se li aplica la força F de manera que gira al voltant de l'eix O. La partícula està a una distància r de l'eix de rotació. Primer, la partícula està en repòs (v = 0). Després de moure's per la força de F, les partícules es mouen amb una certa velocitat de manera que tenen una acceleració tangencial. La relació entre la força (F), la massa (m) i l'acceleració tangencial de les partícules s'expressa mitjançant l'equació 3:

F = ma _tan (Equació 3)

Les partícules giren de manera que tenen acceleració angular. La relació entre l'acceleració tangencial i l'acceleració angular s'expressa mitjançant l'equació 4:

a _tan = r α (Equació 4)

Substituïu a a l'equació 3 per a a l'equació 4:

F = mr α

r F = ^mr²α

τ = (mr² ⁾ α (Equació 5)

r F és el moment de força i mr ² és el moment d'inèrcia de la partícula. L'equació 5 estableix la relació entre el moment de força, el moment d'inèrcia i l'acceleració angular de les partícules en rotació. L'equació 5 és l'equació de la segona llei de Newton per a partícules en rotació.

El moment d'inèrcia d'una partícula és el producte de la massa de la partícula (m) i el quadrat de la distància entre les partícules amb l'eix de rotació (r² ⁾.

I = mr² ⁽ Equació 6)

I = moment d'inèrcia de la partícula, m = massa de la partícula, r = distància entre la partícula i l'eix de rotació. L'equació 6 s'utilitza per determinar el moment d'inèrcia d'una partícula.

3.2 Problemes d'exemple del moment d'inèrcia de la partícula

Problema d'exemple 1.

Una partícula amb una massa de 2 kg es va lligar a una corda de 0.5 metres de llargada i després es va fer girar. Quin és el moment d'inèrcia de les partícules quan giren?

Solució:

Jo = Sr. ²

I = (2 kg) (0.5 m) ^²

I = 0.5 kg ^m²

Problema d'exemple 2.

Dues partícules, cadascuna amb una massa de 2 kg i 4 kg, estan connectades per un cable lleuger, on la longitud del cable és de 2 metres. Ignoreu la massa dels cables. Determineu el moment d'inèrcia de les dues partícules, si:

a) L'eix de rotació es troba entre les dues partícules

Solució:

I ⁼ _m₁ r₁₂ + _m₂ r₂₂_​^​_​

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 kg ^m²

b) L'eix de rotació es troba a una distància de 0.5 metres de la partícula amb una massa de 2 kg

I ⁼ _m₁ r₁₂ + _m₂ r₂₂_​^​_​

I = (2)(0.5² ⁾ + (4)( ^1.5² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 kg ^m²

c) L'eix de rotació es troba a una distància de 0.5 metres de la partícula amb una massa de 4 kg

I ⁼ _m₁ r₁₂ + _m₂ r₂₂_​^​_​

I = (2)(1.52) + (4)( ^0.5² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 kg ^m²

Segons els resultats dels càlculs anteriors, el moment d'inèrcia està fortament influenciat per la ubicació de l'eix de rotació. Tot i que la forma i la mida són les mateixes perquè la ubicació de l'eix de rotació és diferent, el moment d'inèrcia també és diferent.

Les partícules properes a l'eix de rotació tenen un moment d'inèrcia més petit, mentre que les partícules que estan lluny de l'eix de rotació tenen un moment d'inèrcia més gran. Si suposem que les dues partícules anteriors són objectes rígids, aleshores cada partícula està a prop de l'eix de rotació.

té un moment d'inèrcia menor que el moment d'inèrcia de la partícula més allunyada de l'eix de rotació.

3.3 Moment d'inèrcia d'un cos rígid homogeni

Els objectes rígids estan compostos de moltes partícules. El moment d'inèrcia d'un cos rígid és el nombre total de moments d'inèrcia de cada partícula que construeix l'objecte.

I = Σ ^mr²

Jo = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Per determinar el moment d'inèrcia d'un objecte rígid, cal revisar l'objecte quan gira perquè la ubicació de l'eix de rotació afecta el moment d'inèrcia de l'objecte. El moment d'inèrcia (I) de cada partícula també depèn de la massa (m) de la partícula i del quadrat de la distància (r² ⁾ de la partícula a l'eix de rotació. La massa de totes les partícules que formen l'objecte és la massa de l'objecte.

El problema és que la distància de cada partícula a l'eix de rotació varia.

Revisa la disminució de la fórmula del moment d'inèrcia d'un anell prim amb dits R i massa M.

Si l'eix de rotació es troba al centre de l'anell, totes les partícules de l'anell prim es troben des de l'eix de rotació. El moment d'inèrcia d'un anell prim és igual al moment d'inèrcia de totes les partícules:

I = Σ mr²

Jo = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

La massa de totes les partícules = massa de l'anell prim (M)

I = M (r₁ _/ ² + r₂/ ₂ ⁺ r₃ _/ ² + … + r₁/ _n/ ² )

Cada partícula de l'anell prim és a r de l'eix de rotació, de manera que _r1 = r2 ₌ r3 ₌ rn = R

L'equació del moment d'inèrcia de l'anell prim:

I = ^MR2

I = moment d'inèrcia de l'anell prim, M = massa de l'anell prim, R = radi de l'anell prim.

Què passa si l'eix de rotació no es troba al centre de l'anell? Si l'eix de rotació no es troba al centre de l'anell, la fórmula del moment d'inèrcia de l'anell prim no es pot derivar utilitzant el mètode anterior.

perquè la distància de cada partícula a l'eix de rotació és diferent. La derivació de la fórmula del moment d'inèrcia per a un problema com aquest no es tracta en aquest tema.

La fórmula del moment d'inèrcia per a alguns objectes rígids

3.4 Problema d'exemple del moment d'inèrcia d'un cos rígid homogeni

Problema de mostra 1:

El cilindre de vareta AB té una massa de 3 kg quan gira a través de B,

El moment d'inèrcia és de 27 kg m² ^. Quin és el moment d'inèrcia si

girat a través de C?

Solució:

Solució:

La fórmula del moment d'inèrcia per a la vareta sòlida homogènia (l'eix de rotació es troba al centre de la vareta):

I = 1/12 ^ML²

27 = (1/12) ^ML2

(27)(12) = ^ML2

324 = ^ML2

La fórmula del moment d'inèrcia d'una vareta sòlida homogènia (l'eix de rotació a la vora de la vareta):

I = 1/3 ^ML²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg ^m²