Moment angular

Moment angular

La quantitat del moviment de rotació, que és idèntica a la massa (m) en el moviment lineal, és el moment d'inèrcia (I). La quantitat del moviment de rotació, que és idèntica a la velocitat (v) en el moviment lineal, és la velocitat angular (ω). Per tant, l'objecte en rotació té un moment angular que es pot calcular mitjançant l'equació:

L = I ω

L = moment angular (kg m² ^/ s), I = moment d'inèrcia (kg m² ⁾ , ω = velocitat angular (rad/s)

Problemes d'exemple del moment angular

Problema d'exemple 1.

Una partícula amb una massa de 0.5 grams es mou en un cercle amb una velocitat angular constant de 2 rad/s. Determineu el moment angular de la partícula si el radi de la trajectòria de la partícula és de 10 cm.

Solució:

El moment d'inèrcia de la partícula:

I = mr² ⁼ (0.5 x ^{10⁻³ kg} )(1 x ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻² m² ) = 0.5 x ^10⁻⁵ kg ^​​m²

La velocitat angular de la partícula:

ω = 2 rad/s

El moment angular de la partícula:

L = (0.5 x ^10⁻⁵ kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁵ kg m² ^/ s

La llei de conservació del moment angular

La llei de conservació del moment angular estableix que si el moment resultant de la força sobre un cos rígid quan gira és zero, aleshores el moment angular del cos rígid quan gira sempre és constant. La llei de conservació del moment angular es pot derivar matemàticament modificant l'equació de la segona llei de Newton sobre el moment angular. Aquí teniu l'equació de la segona llei de Newton sobre el moment angular:

Si el moment resultant de la força és zero, l'equació anterior canvia a:

I _t = el moment d'inèrcia final, I _o = el moment d'inèrcia inicial, ω _t = la velocitat angular final, ω _o = la velocitat angular inicial, L _t = el moment angular final, L _o = el moment angular inicial.

Exemples de problemes de la llei de conservació del moment angular

Problema d'exemple 1.

Un disc cilíndric sòlid homogeni gira inicialment sobre el seu eix amb una velocitat de 4 rad/s. La massa i el radi del disc són 1 kg i 0.5 m. Si per sobre de la placa es col·loca un anell que té una massa i un radi de 0.2 kg i 0.1 m i el centre de l'anell,

just per sobre del centre del disc, aleshores el disc i l'anell giraran junts amb la velocitat angular de...

Solució:

Moment d'inèrcia d'un cilindre sòlid: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Moment d'inèrcia de l'anell: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Moment angular inicial (L1 ₎ = Moment angular final ( _L2 )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω2 = _0.5 : 0.127

ω2 = ₄ rad/s

Preguntes i respostes conceptuals

1. Què és el moment angular?
   Resposta: El moment angular és una mesura de la quantitat de rotació que té un objecte, considerant la seva massa i forma. És l'anàleg rotacional del moment lineal.
2. Com es determina matemàticament el moment angular?
   Resposta: El moment angular (L) es defineix com $L=r\times p$, On $r$ és el vector de posició des de l'eix de rotació fins al punt d'aplicació, i $p$ és el moment lineal.
3. El moment angular és una magnitud escalar o vectorial?
   Resposta: El moment angular és una magnitud vectorial.
4. Quina és la unitat de moment angular en el sistema SI?
   Resposta: La unitat de moment angular en el sistema SI és el quilogram-metre quadrat per segon (kg·m²/ s).
5. Com es conserva el moment angular?
   Resposta: En un sistema tancat sense parells de torsió externs, el moment angular total roman constant.
6. Quin és el principi de conservació del moment angular?
   Resposta: El principi estableix que el moment angular total d'un sistema tancat roman constant llevat que hi actuï un parell de forces extern.
7. Com es relaciona el gir d'un patinador artístic amb el moment angular?
   Resposta: Quan un patinador artístic acosta els braços i les cames al cos durant un gir, disminueix el seu moment d'inèrcia, cosa que fa que giri més ràpid. Això demostra la conservació del moment angular.
8. Quina és la relació entre el parell motor i el moment angular?
   Resposta: Parell ($\tau$) és la taxa de canvi del moment angular. Matemàticament, τ=dL/seg​.
9. És possible que un objecte tingui moment angular sense velocitat angular?
   Resposta: No, si un objecte té moment angular, té velocitat angular. La magnitud i la direcció del moment angular depenen tant del moment d'inèrcia com de la velocitat angular.
10. Com afecta el moment d'inèrcia al moment angular?
    Resposta: El moment angular (L) és el producte del moment d'inèrcia (I) i la velocitat angular (ω). EUA $L=I\omega$, un augment del moment d'inèrcia per a una velocitat angular donada augmentarà el moment angular.
11. Quina diferència hi ha entre l'espín i el moment angular orbital en la mecànica quàntica?
    Resposta: El moment angular d'espín és una propietat intrínseca de les partícules, com els electrons, i no sorgeix del moviment a l'espai. El moment angular orbital, en canvi, sorgeix del moviment d'una partícula al voltant d'un punt central.
12. Quin paper juga el moment angular en la formació dels sistemes planetaris?
    Resposta: A mesura que un núvol molecular col·lapsa per formar estrelles i planetes, la conservació del moment angular fa que el material s'aplani en un disc al voltant de l'estrella nounata, a partir del qual es poden formar planetes.
13. Com manté un giroscopi la seva orientació a l'espai?
    Resposta: Un giroscopi giratori té moment angular. Quan un parell de forces extern intenta canviar la seva orientació, el giroscopi fa precessions, o canvia el seu eix de rotació, en una direcció perpendicular al parell de forces aplicat a causa de la conservació del moment angular.
14. Què causa la precessió en una baldufa?
    Resposta: La precessió en una baldufa és causada pel parell de forces degut a la gravetat que actua sobre el centre de massa de la baldufa, que està desplaçat del seu punt de pivot. Aquest parell de forces provoca un canvi en la direcció del moment angular de la baldufa, fent que precedeixi.
15. Per què les estrelles s'aplanen als seus pols?
    Resposta: A mesura que les estrelles giren, experimenten una força centrífuga que empeny la matèria cap a fora. Aquest efecte és més fort a l'equador que als pols, donant lloc a una forma oblada o aplanada.
16. Com es relaciona el moment angular amb la segona llei de Kepler?
    Resposta: La segona llei de Kepler estableix que un segment de línia que uneix un planeta i el Sol escombra àrees iguals durant intervals de temps iguals. Això és una conseqüència de la conservació del moment angular.
17. Per què un gat sempre aterra dret quan cau?
    Resposta: Els gats utilitzen la conservació del moment angular. Girant els seus cossos i canviant els seus moments d'inèrcia a l'aire, poden reorientar-se per aterrar drets sense violar les lleis de conservació.
18. Com es relaciona el moment magnètic amb el moment angular en els electrons?
    Resposta: El moment magnètic d'un electró sorgeix del seu espín i del seu moment angular orbital. El moment magnètic és proporcional al moment angular de l'electró.
19. Què és el moment angular en termes de coordenades polars?
    Resposta: En coordenades polars, moment angular $L$ per a una massa puntual es pot expressar com $L=mrv$, On $m$ és la massa, $r$ és la distància radial, i $v$ és la velocitat tangencial.
20. Què passa amb el moment angular d'un sistema tancat quan dos objectes xoquen?
    Resposta: En un sistema tancat on dos objectes xoquen, el moment angular total abans de la col·lisió és igual al moment angular total després de la col·lisió, suposant que no actuen parells de forces externs sobre el sistema.

Problemes i solucions

1. Problema: Una massa puntual m = 2 kg es mou amb una velocitat v = 3 m/s en un cercle de radi r = 4 m. Calcula el seu moment angular al voltant del centre del cercle.

Solució: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m² ^/ s

2. Problema: Una esfera sòlida de 3 kg de massa i 0.5 m de radi gira al voltant del seu diàmetre amb una velocitat angular ω = 2 rad/s. Quin és el seu moment angular?

Solució: Per a una esfera sòlida ^, I = 2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Problema: Una massa puntual de 3 kg es mou amb una velocitat de 4 m/s en línia recta. Quin és el seu moment angular respecte a un punt a 5 m de distància de la seva línia de moviment?

Solució:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m² ^/ s

4. Problema: Un disc de 5 kg de massa i 3 m de radi gira amb una velocitat angular de 2 rad/s. Calcula el seu moment angular.

Solució: Per a ^un disc, I = 1/2 m r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Problema: Una vareta de 4 m de longitud i 2 kg de massa gira al voltant d'un extrem amb una velocitat angular de 3 rad/s. Trobeu el seu moment angular.

Solució: Per a una vareta al voltant d'un extrem ^, I = 1/3 m l²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Problema: Quin és el canvi de moment angular si un cos en rotació duplica la seva velocitat angular?

Solució: La relació entre el moment angular (L) i la velocitat angular (ω) és $L=I\times \omega$ . Si ω es duplica, el moment angular també es duplicarà.

7. Problema: Si el radi d'una trajectòria circular d'una partícula en moviment es duplica mentre es manté la velocitat constant, en quin factor canvia el moment angular?

Solució: Moment angular, $L=m\times r\times v$ . Si r es duplica, L també es duplicarà.

8. Problema: Un nen de 30 kg de massa està dret a la vora d'un carrusel que està en repòs. El radi del carrusel és de 2 m. Si el nen comença a córrer a una velocitat de 2 m/s respecte al terra al llarg de la vora, trobeu el moment angular del nen respecte al centre.

Solució: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m² ^/ s

9. Problema: Un cilindre de 6 kg de massa i 2 m de radi gira al voltant del seu eix central amb una velocitat angular de 5 rad/s. Calcula el seu moment angular.

Solució: Per ^a un cilindre, I = 1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2² ^× 5=120 kg.m² ^/ s

10. Problema: Quin serà el nou moment angular d'un cos si el seu moment d'inèrcia es redueix a la meitat i la seva velocitat angular es triplica?

Solució: Donat $L=I\times \omega$ , si $I$ es divideix per la meitat i $\omega$ es triplica, la nova $L$ serà 1/2 × 3 = 1.5 × l'original.

11. Problema: Un cèrcol de 2 kg de massa i 1 m de radi gira amb una velocitat angular de 4 rad/s. Calcula el seu moment angular.

Solució: Per a un cèrcol, I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg ^·m² /s

12. Problema: Un ventilador té unes pales de 0.5 m de longitud i una massa total d'1 kg. Si gira amb una velocitat angular de 10 rad/s, determineu el seu moment angular.

Solució: Suposant ^que les pales del ventilador són com barres que giren al voltant d'un extrem, I = 1/3 m l²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5² ^× 10=0.833 kg.m² ^/ s

13. Problema: Calculeu el moment angular de la Terra al voltant del seu propi eix a causa de la seva rotació. Donat: Massa de la Terra = 5.972 × 10^ ^{24 kg} , Radi $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 1/0-5\text{rad/s}$.

Solució: Suposant ^que la Terra és una esfera sòlida, I = 2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Problema: Un nen es mou cap al centre d'una plataforma giratòria. El moment angular augmenta, disminueix o es manté igual?

Solució: El moment angular es conserva. A mesura que el nen es mou cap al centre, el moment d'inèrcia disminueix. Per conservar el moment angular, la velocitat angular augmenta. Per tant, el moment angular es manté igual.

15. Problema: Si l'energia cinètica d'un cos en rotació es duplica, en quin factor canvia el seu moment angular?

Solució: Energia cinètica K = 1/2 ​I ω ² i moment angular $L=I\omega$ . Si l'energia cinètica es duplica i $I$ roman constant, ω ² es duplica. Això implica que $\omega$ augmenta per un factor de √ 2 ​.$Per\; tant,\; L$ també augmenta per un factor de √ 2 ​.

16. Problema: Una roda de bicicleta de radi 0.3 m té una llanta de massa 1.5 kg. Si gira amb una velocitat angular de 5 rad/s, trobeu el seu moment angular.

Solució: Assumint la llanta com un cèrcol, I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg.m² ^/ s

L = 1.5 × 0 , 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. Problema: Una patinadora sobre gel estira els braços cap a dins mentre gira. Què passa amb el seu moment angular?

Solució: El moment angular de la patinadora es conserva. En ficar els braços cap a dins, disminueix el seu moment d'inèrcia i, per tant, gira més ràpid (augmenta la velocitat angular) per conservar el seu moment angular.

18. Problema: Un volant d'inèrcia té un moment d'inèrcia de 0.2 kg.m² ^{kg.m² i} gira amb una velocitat angular de 10 rad/s. Trobeu el seu moment angular$\text{.}$

Solució:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 kg· ^m² /s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. Problema: Un sistema té un parell de forces extern net zero que actua sobre ell. Què podeu dir sobre el seu moment angular?

Solució: Si el moment extern net és zero, aleshores, segons la conservació del moment angular, el moment angular total del sistema roman constant.

20. Problema: Un punt de massa m = 5 kg es mou amb una velocitat v = 3 m/s perpendicular a la línia que l'uneix amb un punt P. Si la distància des del punt P és de 4 m, trobeu el seu moment angular al voltant del punt P.

Solució:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s