Dinamika fluida – problemi i rješenja

Dinamika fluida – problemi i rješenja

Torricellijev teorem

1. Posuda je napunjena vodom i u njoj se nalazi rupa , kao što je prikazano na slici ispod. Ako je ubrzanje usljed gravitacije 10 ms ^-2 , koja je brzina vode kroz tu rupu?

Poznato:

Visina (v) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metara

Ubrzanje usljed gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Traži se: Brzina vode (v)

Rešenje:

Torricellijeva teorema kaže da voda napušta rupu istom brzinom kao i objekt koji slobodno pada s iste visine. Visina (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metara

Brzina vode se izračunava pomoću jednačine slobodnog pada :

v _t ² = 2 gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v _t = √9 = 3 m/s

2. Posuda je napunjena vodom i u njoj se nalazi otvor, kao što je prikazano na slici ispod. Ako je ubrzanje usljed gravitacije 10 ms ^-2 , koja je brzina vode kroz taj otvor?

Poznato:

Visina (v) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metara

Ubrzanje usljed gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Traži se: Brzina vode (v)

Rešenje:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v _t = √25 = 5 m/s

3. Posuda je napunjena vodom i u njoj se nalazi otvor, kao što je prikazano na slici ispod. Ako je ubrzanje usljed gravitacije 10 ms ^-2 , koja je brzina vode kroz taj otvor?

Poznato:

Visina (v) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metara

Ubrzanje usljed gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Traži se: Brzina vode (v)

Rešenje:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v _t = √16 = 4 m/s

4. Posuda je napunjena vodom i u njoj se nalazi otvor, kao što je prikazano na slici ispod. Ako je ubrzanje usljed gravitacije 10 ms ^-2 , koja je brzina vode kroz taj otvor?

Poznato:

Visina (v) = 20 cm = 0.2 metra

Ubrzanje usljed gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Traži se: Brzina vode (v)

Rešenje:

5. Posuda je napunjena vodom i ima dva otvora , kao što je prikazano na slici ispod. Koji je odnos x ₁ i x ₂?

Rješenje

Vremenski interval slobodnog pada vode iz rupe 1:

h = 1/2 u tački ²

0.8 = 1/2 (10) t ²

0.8 = 5 t ²

t2 = 0.8 / 5 = ^0.16

t = 0.4 sekundi

Vremenski interval slobodnog pada vode iz rupe 2:

h = 1/2 u tački ²

0.5 = 1/2 (10) t ²

0.5 = 5 t ²

t2 = 0.5 / 5 = ^0.1

t = √0.1 sekunda

Horizontalna udaljenost (x):

x ₁ = v ₁ t ₁ = (2)(0.4) = 0.8 metara

x² = _{v² t²} = (√10 ) (√0.1) = (10)(0.1) = 1 _metar

Odnos x ₁ prema x ₂ :

x _{1 :} x ₂ = 0.8 : 1 = 8 : 10 = 4 : 5

Jednačina kontinuiteta

6. Voda teče kroz cijev različitog promjera, od A do B, a zatim do C. Odnos A i C je 8 : 3. Ako je brzina vode u cijevi A v, koja je brzina vode u cijevi C?

Poznato:

Površina A (A_A) = 8

Površina C (A _C ) = 3

Brzina vode u cijevi A (v _A ) = v

Traži se: Brzina vode u cijevi C (v _C )

Rešenje:

Jednačina kontinuiteta:

A _A v _A = A _C v _C

8 V = 3 V _C

v _C = 8/3 v

7. Ako je brzina vode u cijevi promjera 12 cm 10 cm/s, kolika je brzina vode u cijevi promjera 8 cm?

Poznato:

Prečnik 1 (d² ₎ = 12 cm, poluprečnik 1 (r² ₎ = 6 cm

Prečnik 2 (d² ₎ = 8 cm, poluprečnik 2 (r² ₎ = 4 cm

Brzina vode 1 (v ₁ ) = 10 cm/s

Traži se: Brzina vode 2 (v ₂ )

Rešenje:

Površina 1 (A ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π cm ²

Površina 2 (A ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π cm ²

Jednačina kontinuiteta:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

(36π)(10) = (16π) _√²

(36)(10) = (16) v ₂

360 = (16) v ₂

v2 = _360/16

v2 = 22.5 cm/ _s

8. Voda teče kroz cijev različitog promjera, kao što je prikazano na slici ispod. Ako je površina 1 (A1 ₎ = 8 cm2 ^, A2 ₌ 2 cm2 ⁱ brzina vode u cijevi 2 = v2 ₌ 2 m/s, tada koja je brzina vode u cijevi 1 = _v1.

Poznato:

Područje 1 (A₁) = 8 cm²

Površina 2 (A² ₎ = 2 ^cm²

Brzina vode u cijevi 2 (v2 ₎ = 2 m/s

Traži se: brzina vode u cijevi 1 (v ₁ )

Rešenje:

Jednačina kontinuiteta:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

8 v ₁ = (2)(2)

8 protiv ₁ = 4

v ₁ = 4 / 8 = 0.5 m/s

9. Ako je prečnik veće cijevi 2 puta veći od prečnika manje cijevi, kolika je brzina fluida u manjoj cijevi?

Poznato:

Prečnik veće cijevi (d₁) = 2

Poluprečnik veće cijevi (r1 ₎ = ½ d1 ₌ ½ (2) = 1

Površina veće cijevi ( A ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

Prečnik manje cijevi (d2 ₎ = 1

Poluprečnik manje cijevi (r² ₎ = ½ d² ₌ ½ (1) = ½

Površina manje cijevi ( A ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = ¼ π

Brzina fluida u većoj cijevi ( _v1 ) = 4 m/s

Traži se: Brzina fluida na manjoj cijevi ( v2 ₎

Rešenje:

Jednačina kontinuiteta:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

π4 = ¼π( _v2 )

4 = ¼ ( _v² )

v2 ₌ 8 m/s

Bernoullijev princip i jednačine

10. Voda se pumpa kompresorom od 120 kP , ulazi u donju cijev (1) i teče prema gore brzinom od 1 m/ s. Ubrzanje zbog gravitacije je 10 m/ s , a gustoća vode je 1000 kg/m⁻³ ^. Koliki je pritisak vode na gornju cijev (II ).

Poznato:

Poluprečnik donje cijevi (r₁) = 12 cm

Poluprečnik donje cijevi (r2 ₎ = 6 cm

Pritisak vode u donjoj cijevi (p1 ₎ = 120 kPa = 120,000 Pascala

Brzina vode u donjoj cijevi (v1 ₎ = 1 ms ^-1

Visina donje cijevi (h1 ₎ = 0 m

Visina gornje cijevi (h² ₎ = 2 m

Ubrzanje usljed gravitacije (g) = 10 ms ^-2

Gustoća vode = 1000 kg.m ^-3

Traži se: Pritisak vode u cijevi 2 ( _p2 )

Rešenje:

Brzina vode u cijevi 2 izračunava se pomoću jednačine kontinuiteta:

Pritisak vode u cijevi 2 izračunava se pomoću Bernoullijeve jednačine:

11. Velika cijev je 5 metara iznad zemlje, a mala cijev 1 metar iznad zemlje. Brzina vode u velikoj cijevi je 36 km/h sa pritiskom od 9.1 x 10⁶ ^Pa , dok je pritisak u maloj cijevi 2.10⁶ ^Pa . Kolika je brzina vode u maloj cijevi? Gustina vode = 10⁶ ^kg / ^m³

Poznato:

Pritisak vode u velikoj cijevi (p₁) = 9.1 x 10⁵ Paskal = 910,000 Paskala

Pritisak vode u maloj cijevi (p² ₎ = 2 x 10⁶ ^Paskala = 200,000 Paskala

Brzina vode u velikoj cijevi (v1 ₎ = 36 km/h = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 =10 m/s

Visina velike cijevi (h1 ₎ = -4 metra

Visina male cijevi (h² ₎ = 0 metara

Ubrzanje usljed gravitacije (g) = 10 ms ^-2

Gustoća vode = 1000 kg/ ^m³

Traži se: Brzina vode u maloj cijevi (v ₂ )

Rešenje:

Brzina vode u maloj cijevi (v2 ₎ se izračunava pomoću Bernoullijeve jednačine:

12. Cijev poluprečnika 15 cm spojena je s drugom cijevi poluprečnika 5 cm. Obje su u horizontalnom položaju. Brzina protoka vode u velikoj cijevi je 1 m/s pri pritisku od 105 ^N / m² . Koliki je pritisak vode na maloj cijevi (1 g ^cm⁻³ )^?

Poznato:

Poluprečnik velike cijevi (r1 ₎ = 15 cm = 0.15 m

Poluprečnik male cijevi (r2 ₎ = 5 cm = 0.05 m

Pritisak vode u velikoj cijevi (p1 ₎ = 105 ^N m ^-2 = 100.000 N m ^-2

Brzina vode u velikoj cijevi (v1 ₎ = 1 ms ^-1

Ubrzanje usljed gravitacije (g) = 10 ms ^-2

Gustina vode = 1 gr cm⁻³ ⁼ 1000 kg ^m⁻³

Visinska razlika (Δh) = 0.

Traži se: Pritisak u maloj cijevi ( _p2 )

Rešenje:

Brzina vode u cijevi 2 izračunava se pomoću jednačine kontinuiteta:

Pritisak vode u maloj cijevi (p2 ₎ se izračunava pomoću Bernoullijeve jednačine:

1. Šta je dinamika fluida?
   • odgovor: Dinamika fluida je grana fizike koja proučava kretanje fluida (tečnosti i gasova) i sile koje na njih djeluju. Obuhvata principe i jednačine koje opisuju kako fluidi teku, interaguju sa čvrstim granicama i utiču jedni na druge.
2. Koja je razlika između laminarnog i turbulentnog toka?
   • odgovor: Laminarni tok karakteriziraju glatki, paralelni slojevi fluida koji se kreću po uređenim putanjama. Turbulentni tok, s druge strane, je haotičan, s vrtlozima, kovitlanjima i brzim fluktuacijama. Turbulencija se obično javlja pri velikim brzinama ili u kanalima nepravilnog oblika.
3. Koliko je koncept viskoznosti važan u dinamici fluida?
   • odgovor: Viskoznost mjeri otpor fluida smicanju ili protoku. Fluidi visoke viskoznosti (poput meda) pružaju veći otpor protoku od fluida niske viskoznosti (poput vode). U dinamici fluida, viskoznost igra ključnu ulogu u određivanju prirode protoka fluida, disipacije energije i sila otpora.
4. Šta je Bernoullijev princip?
   • odgovor: Bernoullijev princip kaže da u ustaljenom toku, zbir energije pritiska, kinetičke energije i potencijalne energije po jedinici zapremine ostaje konstantan. Konkretno, tamo gdje je brzina fluida velika, pritisak je nizak i obrnuto.
5. Kakav je odnos principa uzgona u aerodinamici i dinamike fluida?
   • odgovor: Uzgon na krilu aviona može se objasniti Bernoullijevim principom i Newtonovim trećim zakonom. Kako zrak struji preko krila, on se kreće brže preko zakrivljene gornje površine nego preko donje, stvarajući razliku u pritisku. Ova razlika u pritisku, u kombinaciji sa skretanjem zraka prema dolje od strane krila, rezultira silom uzgona ili uzgonom.
6. Koja je jednačina kontinuiteta u dinamici fluida?
   • odgovor: Jednačina kontinuiteta kaže da proizvod površine poprečnog presjeka (A) toka i njegove brzine (v) ostaje konstantan duž strujnice u ustaljenom toku. Matematički, A₁​v_1​=A₂​v₂​, gdje A_1​ i A₂​ su površine poprečnog presjeka i v₁​ i v_2​ su brzine u dvije tačke duž linije struje.
7. Kakvu ulogu igra Reynoldsov broj u dinamici fluida?
   • odgovor: Reynoldsov broj je bezdimenzijska veličina koja pomaže u predviđanju režima strujanja (laminarnog, prelaznog ili turbulentnog) u dinamici fluida. Definiše se kao odnos inercijalnih sila i viskoznih sila i zavisi od faktora kao što su brzina fluida, karakteristična dužina i svojstva fluida.
8. Kako sila otpora djeluje na objekte koji se kreću u fluidu?
   • odgovor: Sila otpora se suprotstavlja kretanju objekta kroz fluid. Nastaje zbog viskoznog otpora fluida i razlika u pritisku oko objekta. Veličina i priroda otpora zavise od faktora kao što su oblik objekta, hrapavost, brzina i svojstva fluida.
9. Šta je Venturijev efekat?
   • odgovor: Venturijev efekat se odnosi na smanjenje pritiska fluida koje se javlja kada fluid teče kroz suženi dio cijevi. Kako se brzina fluida povećava u suženom dijelu (zbog očuvanja mase), njegov pritisak se smanjuje prema Bernoullijevom principu.
10. Zašto se fluid ubrzava kada teče kroz uski dio cijevi ili kanala?

• odgovor: Ovo ponašanje se može objasniti principom očuvanja mase. U ustaljenom toku, volumen fluida koji ulazi u dio cijevi mora biti jednak volumenu koji izlazi. Ako je cijev uska, fluid se mora ubrzati kako bi omogućio da isti volumen prođe kroz nju u datom vremenu.