Članak o jednačini kontinuiteta
Pokušajte polako otvoriti slavinu za vodu, obraćajući pažnju na brzinu vode koja izlazi iz otvora slavine. Sada uporedite, gdje je brzina protoka vode veća, kada je otvor slavine zatvoren ili ne? Zašto je to tako? Da biste ovo razumjeli, proučite jednačinu kontinuiteta.
Streamline
U stalnom toku, brzina svake čestice fluida u tački, recimo tački A, uvijek je ista. Prilikom prolaska pored tačke B, brzina čestica fluida se može promijeniti. Međutim, prilikom dolaska u tačku B, čestice fluida koje slijede iza teku istom brzinom kao i čestice fluida koje im prethode. Slično tome, prilikom dolaska u tačku C i tako dalje. Linija toka je kriva koja spaja tačke A, B i C.
Protočna cijev
Možemo opisati svaku strujnicu kroz svaku tačku u toku fluida. Ako posmatramo stacionaran tok fluida, neke strujnice koje prolaze pod određenim uglom na zamišljenoj površini formiraju cijev za protok. Čestice fluida se ne sijeku, već su uvijek paralelne, a cijev za protok će podsjećati na cijev čiji je oblik i dalje isti. Fluid koji ulazi na jednom kraju cijevi će izlaziti iz cijevi na drugom kraju.
[irp]
Brzina
Pražnjenje izražava zapreminu fluida koji protiče kroz određeni poprečni presjek u određenom vremenskom intervalu. Matematički se to može izraziti kao:
Ispuštanje = Zapremina tečnosti / vremenski interval
Q = V / t
Da biste bolje razumjeli, koristimo primjer. Na primjer, fluid teče kroz cijev. Cijevi su obično cilindrične i imaju određenu površinu poprečnog presjeka. Cijev također ima dužinu.
Kada fluid teče u cijevi do L, zapremina fluida u cijevi je V = AL (V = zapremina fluida, A = površina poprečnog presjeka i L = dužina cijevi). Budući da je fluidu potreban određeni vremenski interval dok teče u cijevi duž L, možemo reći da je količina fluida:
Pošto je v = s / t = L / t —> L = vt, gornja jednačina se mijenja u:
Dakle, kada fluid teče kroz cijev određene površine poprečnog presjeka i dužine, tokom određenog perioda, količina ispuštenog fluida (Q) jednaka je površini poprečnog presjeka (A) pomnoženoj sa brzinom protoka fluida (v).
Jednačina kontinuiteta
Pregledajte protok fluida u cijevi različitog promjera, kao što je prikazano na slici ispod.
Ova slika prikazuje tok fluida s lijeva na desno (fluid teče iz cijevi velikog promjera u cijev malog promjera). Isprekidana linija je aerodinamična.
A 1 = površina poprečnog presjeka cijevi velikog promjera, A 2 = površina poprečnog presjeka malog promjera, v 1 = brzina protoka fluida u cijevi velikog promjera, v 2 = brzina protoka fluida u cijevi malog promjera, L = pređena udaljenost fluida.
U ustaljenom toku, brzina protoka čestica fluida u jednoj tački jednaka je brzini protoka drugih čestica fluida koje prolaze kroz tu tačku. Tok fluida se također ne siječe (linije su paralelne). Stoga masa fluida koja ulazi u jedan kraj cijevi mora biti jednaka masi fluida koji izlazi na drugom kraju. Ako fluid ima određenu masu koja dolazi u cijev velikog promjera, tada će fluid izlaziti na cijevi malog promjera iste mase.
Sada razmotrite sliku cijevi iznad. Pregledajte cijev velikog promjera i cijev malog promjera.
Tokom određenog vremenskog intervala, neki fluidi teku kroz presjek cijevi velikog promjera (A1 ) do L1 ( L1 = v1t ) . Zapremina tekućeg fluida je V1 = A1L1 = A1v1t . Tokom istog vremenskog intervala, neki drugi fluidi teku kroz presjek cijevi malog promjera ( A2 ) do L2 ( L2 = v2t ) . Zapremina tekućeg fluida je V2 = A2L2 = A2v2t.
[irp]
Jednačina kontinuiteta za nestišljive fluide
U nekompresibilnim fluidima, gustina fluida je uvijek ista u svakoj tački kroz koju prolazi. Masa fluida koja teče u cijevi koja ima površinu poprečnog presjeka A1 (veliki prečnik cijevi) tokom određenog vremenskog intervala je:
Slično tome, masa fluida koji teče kroz cijev koja ima poprečni presjek A² ( mali promjer cijevi) tokom određenog vremenskog intervala je:
U ustaljenom toku, masa ulazne tečnosti je ista kao i masa tečnosti koja izlazi, tako da:
m1 = m2
ρA1v1t = ρA2v2t
A 1 v 1 = A 2 v 2
Dakle, jednačina kontinuiteta u nekompresibilnim fluidima:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Jednačina 1
A 1 = površina poprečnog presjeka 1, A 2 = površina poprečnog presjeka 2, v 1 = brzina protoka fluida u presjeku 1, v 2 = brzina protoka fluida u presjeku 2, A v = brzina protoka zapremine (V / t) = ispuštanje.
Jednačina 1 pokazuje da je protok uvijek isti u svakoj tački duž cijevi ili protočne cijevi. Kada se poprečni presjek cijevi smanji, brzina protoka fluida se povećava, dok kada se poprečni presjek cijevi poveća, brzina protoka fluida postaje mala.
[irp]
Kada je dio otvora slavine zatvoren, protok vode postaje jači nego kada dio otvora slavine nije zatvoren. To je zato što površina poprečnog presjeka slavine postaje manja kada je dio otvora slavine zatvoren, tako da se brzina protoka vode povećava. Međutim, bitno je znati da je brzina protoka ili ispuštanje tekućine uvijek ista u svakoj tački duž toka vode, bez obzira da li je dio otvora naše slavine zatvoren ili ne. Dakle, šta se mijenja brzinom protoka tekućine?
Šta je onda s protokom vode u rijeci? Duboki dio rijeke ima veći poprečni presjek od plitkog dijela rijeke, tako da je brzina protoka vode u dubokoj rijeci manja od brzine protoka vode u plitkom dijelu rijeke.
Jednačina kontinuiteta za stišljive fluide
Za komprimirani fluid, gustoća fluida nije uvijek ista. Drugim riječima, gustoća fluida se mijenja kada se kompresuje. Ako fluid nije komprimiran, gustoća fluida se uklanja iz jednačine, pa je u ovom slučaju gustoća fluida uključena u jednačinu. Pozivajući se na jednačinu koja je prethodno izvedena, izvedimo jednačinu za komprimirani fluid.
Masa fluida koji ulazi jednaka je masi fluida koji izlazi, tako da:
m1 = m2
ρA1v1t = ρA2v2t
Interval protoka fluida je isti tako da se može eliminisati. Jednačine se mijenjaju u:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Jednadžba 2
Ovo je jednačina za komprimirani fluid. Razlika leži u gustoći fluida. Ako je fluid komprimiran, gustoća se mijenja. Obrnuto, ako fluid nije komprimiran, gustoća je uvijek ista, tako da se može ukloniti iz jednačine.
Primjer problema 1:
Voda teče kroz cijev promjera 10 cm brzinom od 2 m/s. Koliki je protok vode?
Poznato:
Prečnik cijevi = 10 cm
Poluprečnik cijevi (r) = 5 cm = 0.05 m
Brzina vode (v) = 2 m/s
Traži se: Debitna kartica
Rešenje:
Q = A v
Q = (πr² ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m) ² (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0.0157 m³ / s
[irp]
Primjer problema 2:
Cijev promjera 20 cm spojena je s drugom cijevi promjera 10 cm. Ako je brzina vode u cijevi promjera 20 cm 4 m/s, kolika je brzina vode u cijevi promjera 10 cm?
Poznato:
Prečnik 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0.1 m)
v1 = 4 m/s
Prečnik 2 = 10 cm (r 2 = 5 cm = 0.05 m)
Traži se: v 1
Odgovor:
Q1 = Q2
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 m) 2 (4 m/s) = (0.05 m) 2 (v 2 )
(0.01 m² ) (4 m/s) = (0.0025 m² ) ( v² )
(0.04 m³ / s) = (0.0025 m² ) ( v² )
v2 = 16 m/s
[irp]
