Moment inercije

Moment inercije materijala

Postoje dva objekta, od kojih jedan ima malu, a drugi veću masu. Koji se objekt lakše pomiče ako se gura istom silom? Činjenica pokazuje da se objekti s manjom masom lakše pomiču od objekata s većom masom. Dakle, veličina mase objekta određuje veličinu ubrzanja objekta ako se na njih primijeni sila. Ako u pravolinijskom kretanju masa objekta određuje da li se objekt lako ili teško pomiče (ubrza), onda u rotacijskom kretanju moment inercije objekta određuje da li se objekt lako ili teško pomiče.

čestica
Razmotrimo rotirajuću česticu. Čestici mase m je data sila F tako da se čestica okreće oko ose rotacije O. Čestica je na udaljenosti r od ose rotacije. U početku čestica miruje (v = 0). Nakon što je pomaknuta silom F, čestica se okreće određenom brzinom tako da čestica ima tangencijalno ubrzanje (tangencijalno ubrzanje).
Veza između sile (F), mase (m) i tangencijalnog ubrzanja (a tan) čestice izražava se jednačinom:
Čestica rotira tako da čestica ima ugaono ubrzanje. Veza između tangencijalnog ubrzanja i ugaonog ubrzanja izražava se jednačinom:
Zamijenite tangencijalno ubrzanje (α tan) u jednačini 3 tangencijalnim ubrzanjem (α tan) u jednačini 4.
Pomnožite lijevu i desnu stranu sa r:
r F je moment sile, a mr² je moment inercije čestice I). Jednačina 5 navodi odnos između momenta sile, momenta inercije i ugaonog ubrzanja rotirajuće čestice. Jednačina 5 je jednačina drugog Newtonovog zakona za rotirajuću česticu.
I je proizvod mase čestice (m) i kvadrata udaljenosti čestice od ose rotacije (r).²).
Informacije:
I = moment inercije čestice, m = masa čestice, r = udaljenost između čestice i ose rotacije
Jednačina 6 se koristi za određivanje momenta inercije rotirajuće čestice.
Kako biste bolje razumjeli pregled u vezi s momentom inercije čestica, molimo vas Proučite primjere problema momenta inercije čestica.

Homogeno kruto tijelo
Kruto tijelo se sastoji od mnogih čestica raspoređenih po tijelu. Moment krutog tijela je zbir svih momenata svake čestice koja čini kruto tijelo.
Da bi se odredio I krutog objekta, objekt se posmatra dok rotira jer položaj ose rotacije utiče na vrijednost momenta. Pored toga što zavisi od položaja ose rotacije, I čestice zavisi i od mase čestice (m) i kvadrata udaljenosti čestice od ose rotacije (r).²). Masa svih čestica koje čine objekt jednaka je masi samog objekta. Problem je u tome što udaljenost svake čestice od ose rotacije varira.
Razmotrimo izvođenje formule za tanki prsten radijusa R i mase M. Ako je osa rotacije u centru prstena, tada su sve čestice koje čine prsten na udaljenosti r od ose rotacije. I tankog prstena jednak je zbiru momenata svih čestica koje čine prsten.
Svaka čestica koja čini tanki prsten nalazi se na udaljenosti r od ose rotacije tako da r₁ = r₂ = r₃ = r = R.
Formula za tanki prsten:
I = MR²
Informacije:
I = moment inercije tankog prstena, M = masa tankog prstena, R = poluprečnik tankog prstena
Šta ako osa rotacije nije smještena u centru prstena? Ako osa rotacije nije smještena u centru prstena, formula za tanki prsten ne može se izvesti korištenjem gornje metode jer udaljenost svake čestice od ose rotacije varira.

Formula za homogeno kruto tijelo
Slijedeće formule su za nekoliko homogenih krutih tijela.

Primjer problema

1. Pitanja za nacionalni ispit 2017. za srednju školu/srednju stručnu školu

Obratite pažnju na sljedeću tabelu!

Objekti P, Q i R su povezani štapom bez mase. Veličina momenta inercije sistema oko ose okomite na ravan kroz osu objekta P je…

Diskusija

Poznato je:

Postavljeno pitanje: Moment inercije sistema

Odgovor:

Moment inercije objekta Q:

I _Q = mr² ⁼ (0,5)(10² ⁾ = (0,5)(100) = 50 kg ^m²

Moment inercije objekta R:

I _R = mr² ⁼ (3)( ^6² ) = (3)(36) = 108 kg ^m²

Moment inercije objekta P:

Osa rotacije prolazi kroz osu objekta P tako da je r = 0.

Moment inercije sistema:

I = 50 kg ^m² + 108 kg ^m²

I = 158 kg ^m²