নিষ্ক্রিয়তা মোমেন্ট

১. কণার জড়তার ভ্রামক

একটি ঘূর্ণায়মান কণা পর্যালোচনা করুন। m ভরের কণাটিকে F বল প্রয়োগ করা হয় যাতে কণাটি O অক্ষের সাপেক্ষে ঘোরে। কণাটি ঘূর্ণন অক্ষ থেকে r দূরত্বে অবস্থিত। প্রথমে, কণাটি স্থির থাকে (v = 0)। F বলের প্রভাবে গতিশীল হওয়ার পর, কণাটি একটি নির্দিষ্ট গতিতে চলে, যার ফলে কণাটির স্পর্শকীয় ত্বরণ সৃষ্টি হয়। বল (F), ভর (m) এবং কণার স্পর্শকীয় ত্বরণের মধ্যে সম্পর্কটি সমীকরণ ৩ দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

F = ma _tan (সমীকরণ ৩)

কণাগুলো এমনভাবে ঘোরে যে তাদের কৌণিক ত্বরণ সৃষ্টি হয়। স্পর্শকীয় ত্বরণ এবং কৌণিক ত্বরণের মধ্যে সম্পর্কটি ৪ নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

a _tan = r α (সমীকরণ ৪)

সমীকরণ ৩-এর a-এর পরিবর্তে সমীকরণ ৪-এর a বসান:

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr ² ) α (সমীকরণ ৫)

rF হলো বলের ভ্রামক এবং mr² ^হলো কণার জড়তার ভ্রামক। সমীকরণ ৫ ঘূর্ণায়মান কণার বলের ভ্রামক, জড়তার ভ্রামক এবং কৌণিক ত্বরণের মধ্যে সম্পর্কটি বর্ণনা করে। সমীকরণ ৫ হলো ঘূর্ণায়মান কণার জন্য নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রের সমীকরণ।

কোনো কণার জড়তার ভ্রামক হলো কণাটির ভর (m) এবং ঘূর্ণন অক্ষের সাথে কণা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্বের (r²) বর্গের ^{গুণফল} ।

I = mr ² (সমীকরণ 6)

I = কণার জড়তার ভ্রামক, m = কণার ভর, r = কণা এবং ঘূর্ণন অক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব। কোনো কণার জড়তার ভ্রামক নির্ণয় করতে সমীকরণ ৬ ব্যবহৃত হয়।

৩.২ কণার জড়তার ভ্রামকের নমুনা সমস্যা

নমুনা সমস্যা ১।

২ কেজি ভরের একটি কণাকে ০.৫ মিটার লম্বা একটি দড়ির সাথে বেঁধে ঘোরানো হলো। ঘোরার সময় কণাটির জড়তার ভ্রামক কত?

সমাধান:

আমি = জনাব ^২

I = (2 kg) (0.5 m) ²

I = 0.5 kg m ²

নমুনা সমস্যা ১।

দুটি কণার ভর যথাক্রমে ২ কেজি এবং ৪ কেজি। এগুলো একটি হালকা তার দিয়ে সংযুক্ত, যার দৈর্ঘ্য ২ মিটার। তারের ভর উপেক্ষা করুন। কণা দুটির জড়তার ভ্রামক নির্ণয় করুন, যদি:

ক) ঘূর্ণন অক্ষটি দুটি কণার মাঝখানে অবস্থিত।

সমাধান:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 kg m ²

খ) ঘূর্ণন অক্ষটি ২ কেজি ভরের কণাটি থেকে ০.৫ মিটার দূরত্বে অবস্থিত।

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 kg m ²

গ) ঘূর্ণন অক্ষটি ৪ কেজি ভরের কণাটি থেকে ০.৫ মিটার দূরত্বে অবস্থিত।

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 kg m ²

উপরোক্ত গণনার ফলাফল অনুসারে, ঘূর্ণন অক্ষের অবস্থান দ্বারা জড়তার ভ্রামক প্রবলভাবে প্রভাবিত হয়। যদিও আকৃতি ও আকার একই থাকে, কিন্তু ঘূর্ণন অক্ষের অবস্থান ভিন্ন হওয়ার কারণে জড়তার ভ্রামকও ভিন্ন হয়।

ঘূর্ণন অক্ষের কাছাকাছি থাকা কণাগুলোর জড়তার ভ্রামক কম হয়, অপরদিকে ঘূর্ণন অক্ষ থেকে দূরে থাকা কণাগুলোর জড়তার ভ্রামক বেশি হয়। যদি আমরা ধরে নিই যে উপরের দুটি কণা অনমনীয় বস্তু, তাহলে প্রতিটি কণা ঘূর্ণন অক্ষের কাছাকাছি অবস্থিত।

ঘূর্ণন অক্ষ থেকে দূরে অবস্থিত কণার জড়তার ভ্রামকের চেয়ে এর জড়তার ভ্রামক কম।

৩.৩ একটি সমসত্ত্ব দৃঢ় বস্তুর জড়তার ভ্রামক

দৃঢ় বস্তু অনেকগুলো কণা দ্বারা গঠিত। একটি দৃঢ় বস্তুর জড়তার ভ্রামক হলো বস্তুটি গঠনকারী প্রতিটি কণার মোট জড়তার ভ্রামকের সমষ্টি।

I = Σ mr ²

I = m₁ r₁² + মি₂ r₂² + মি₃ r₃² + ….. + ম_n r_n²

একটি অনমনীয় বস্তুর জড়তার ভ্রামক নির্ণয় করতে হলে, বস্তুটি যখন ঘোরে তখন সেটিকে পর্যালোচনা করতে হবে, কারণ ঘূর্ণন অক্ষের অবস্থান বস্তুটির জড়তার ভ্রামককে প্রভাবিত করে। প্রতিটি কণার জড়তার ভ্রামক (I) কণাটির ভর (m) এবং ঘূর্ণন অক্ষ থেকে কণাটির দূরত্বের বর্গের (r²) উপরও নির্ভর করে ^। বস্তুটি গঠনকারী সমস্ত কণার ভরই হলো বস্তুটির মোট ভর।

সমস্যাটি হলো, ঘূর্ণন অক্ষ থেকে প্রতিটি কণার দূরত্ব ভিন্ন ভিন্ন হয়।

R আঙ্গুল এবং M ভরবিশিষ্ট একটি পাতলা আংটির জড়তার ভ্রামকের সূত্রের হ্রাস পর্যালোচনা করুন।

যদি ঘূর্ণন অক্ষটি বলয়টির কেন্দ্রে অবস্থিত হয়, তবে পাতলা বলয়টির সমস্ত কণা ঘূর্ণন অক্ষ থেকে দূরে অবস্থিত থাকে। একটি পাতলা বলয়ের জড়তার ভ্রামক তার সমস্ত কণার জড়তার ভ্রামকের সমান:

I = Σ mr²

I = m₁ r₁² + মি₂ r₂² + মি₃ r₃² + ….. + ম_n r_n²

সকল কণার ভর = পাতলা বলয়ের ভর (M)

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ….. + r _n ² )

পাতলা বলয়টির প্রতিটি কণা ঘূর্ণন অক্ষ থেকে r দূরত্বে অবস্থিত, যেন r ₁ = r ₂ = r ₃ = rn = R হয়।

পাতলা বলয়টির জড়তার ভ্রামকের সমীকরণ:

I = MR ²

I = পাতলা বলয়টির জড়তার ভ্রামক, M = পাতলা বলয়টির ভর, R = পাতলা বলয়টির ব্যাসার্ধ।

যদি ঘূর্ণন অক্ষটি বলয়টির কেন্দ্রে অবস্থিত না হয় তাহলে কী হবে? যদি ঘূর্ণন অক্ষটি বলয়টির কেন্দ্রে অবস্থিত না হয়, তবে উপরোক্ত পদ্ধতি ব্যবহার করে পাতলা বলয়টির জড়তার ভ্রামকের সূত্র নির্ণয় করা যাবে না।

কারণ ঘূর্ণন অক্ষ থেকে প্রতিটি কণার দূরত্ব ভিন্ন। এই ধরনের সমস্যার জন্য জড়তার ভ্রামকের সূত্র প্রতিপাদন করা এই অধ্যায়ে আলোচনা করা হয়নি।

কিছু অনমনীয় বস্তুর জড়তার ভ্রামকের সূত্র

৩.৪ একটি সমসত্ত্ব দৃঢ় বস্তুর জড়তার ভ্রামকের নমুনা সমস্যা

নমুনা সমস্যা ১:

রড সিলিন্ডার AB-কে B বিন্দুতে ঘোরানো হলে এর ভর হয় ৩ কেজি।

জড়তার ভ্রামক ২৭ কেজি মি² ^। জড়তার ভ্রামক কত হবে যদি

C-এর মধ্য দিয়ে ঘোরানো হয়েছে?

সমাধান:

সমাধান:

সমসত্ত্ব নিরেট দণ্ডের জড়তার ভ্রামকের সূত্র (ঘূর্ণন অক্ষটি দণ্ডটির কেন্দ্রে অবস্থিত):

I = 1/12 ML ²

২৭ = (১/১২) এমএল ^২

(27)(12) = ML ²

৩২৪ = এমএল ^২

একটি সমসত্ত্ব নিরেট দণ্ডের জড়তার ভ্রামকের সূত্র (দণ্ডটির কিনারায় ঘূর্ণন অক্ষ):

I = 1/3 ML ²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg m ²