কৌণিক ভরবেগ

কৌণিক ভরবেগ

ঘূর্ণন গতির পরিমাণ, যা রৈখিক গতির ভর (m)-এর সমান, তা হলো নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত (I). ঘূর্ণন গতির রাশি, যা রৈখিক গতির বেগ (v)-এর সমান, তাকে কৌণিক বেগ (ω) বলা হয়। সুতরাং, ঘূর্ণায়মান বস্তুটির কৌণিক ভরবেগ থাকে যা নিম্নলিখিত সমীকরণ ব্যবহার করে গণনা করা যায়:

L = I ω

L = কৌণিক ভরবেগ (কেজি মি)²/s), I = জড়তার ভ্রামক (কেজি মি)²), ω = কৌণিক বেগ (রেডিয়ান/সেকেন্ড)

কৌণিক ভরবেগের নমুনা সমস্যা

নমুনা সমস্যা ১।

০.৫ গ্রাম ভরের একটি কণা ২ রেডিয়ান/সেকেন্ড ধ্রুব কৌণিক বেগে একটি বৃত্তাকার পথে চলে। কণাটির কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় করুন, যদি কণাটির চলার পথের ব্যাসার্ধ ১০ সেমি হয়।

সমাধান:

কণার জড়তার ভ্রামক:

আমি = মিঃ² = (০.৫ x ১০^-3 কেজি)(৬৪.৫ x ১০^-1 m)² = (০.৫ x ১০^-3 কেজি)(৬৪.৫ x ১০^-2 m²) = ১০০ x ১২^-5 কেজি মি²

কণাটির কৌণিক গতিবেগ:

ω = 2 rad/s

কণাটির কৌণিক ভরবেগ:

L = (0.5 x 10^-5 কেজি মি²)(2 rad/s) = 1 x 10^-5 কেজি মি²/s

কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র

কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী, কোনো দৃঢ় বস্তু যখন ঘোরে তখন তার উপর প্রযুক্ত লব্ধি ভ্রামক শূন্য হলে, ঐ বস্তুর কৌণিক ভরবেগ সর্বদা ধ্রুবক থাকে। নিউটনের দ্বিতীয় কৌণিক ভরবেগের সূত্রকে পরিবর্তন করে গাণিতিকভাবে কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্রটি প্রতিপাদন করা যায়। এর সমীকরণটি হলো... নিউটনকৌণিক ভরবেগের উপর এর দ্বিতীয় সূত্র:

যদি লব্ধি বলের ভ্রামক শূন্য হয়, তাহলে উপরের সমীকরণটি পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়:

I_t = চূড়ান্ত জড়তার ভ্রামক, I_o = প্রাথমিক জড়তার ভ্রামক, ω_t = চূড়ান্ত কৌণিক গতি, ω_o = প্রাথমিক কৌণিক গতি, L_t = চূড়ান্ত কৌণিক ভরবেগ, L_o = প্রাথমিক কৌণিক ভরবেগ।

কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্রের নমুনা সমস্যা

নমুনা সমস্যা ১।

একটি সমসত্ত্ব নিরেট চোঙাকৃতি চাকতি প্রাথমিকভাবে তার অক্ষের উপর ৪ রেডিয়ান/সেকেন্ড বেগে ঘুরছে। চাকতিটির ভর ও ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ১ কেজি এবং ০.৫ মিটার। যদি চাকতিটির উপরে এমন একটি বলয় স্থাপন করা হয় যার ভর ও ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ০.২ কেজি এবং ০.১ মিটার এবং বলয়টির কেন্দ্র,

ডিস্কটির কেন্দ্রের ঠিক উপরে, তারপর ডিস্ক এবং রিংটি একসাথে ….. কৌণিক বেগে ঘুরবে।

সমাধান:

নিরেট সিলিন্ডারের জড়তার ভ্রামক: I = 1⁄2 mr² = 1⁄2 (1 কেজি)(0.5 মি)² = (0.5)(0.25) = 0.125 কেজি মি²

রিং-এর জড়তার ভ্রামক: I = mr² = (0.2 কেজি)(0.1 মিটার)² = (0.2)(0.01) = 0.002 কেজি মি²

প্রাথমিক কৌণিক ভরবেগ (L₁) = চূড়ান্ত কৌণিক ভরবেগ (L₂)

I₁ ω₁ = আমি₂ ω₂

(০.১২৫ কেজি মি)²)(4 rad/s) = (0.125 kg m² + ০.১ কেজি মি²)(ω₂)

(0.5) = (0.127)(ω₂)

ω₂ = ১ : ৪

ω₂ = ৫ রেডিয়ান/সেকেন্ড

ধারণামূলক প্রশ্ন ও উত্তর

1. কৌণিক ভরবেগ কী?
   উত্তর: কৌণিক ভরবেগ হলো কোনো বস্তুর ভর ও আকৃতি বিবেচনা করে তার ঘূর্ণনের পরিমাণের একটি পরিমাপ। এটি রৈখিক ভরবেগের ঘূর্ণনশীল প্রতিরূপ।
2. গাণিতিকভাবে কৌণিক ভরবেগ কীভাবে নির্ণয় করা হয়?
   উত্তর: কৌণিক ভরবেগ (L) কে সংজ্ঞায়িত করা হয় $L=r\times p$, কোথায় $r$ হলো ঘূর্ণন অক্ষ থেকে প্রয়োগ বিন্দু পর্যন্ত অবস্থান ভেক্টর, এবং $p$ রৈখিক ভরবেগ হলো
3. কৌণিক ভরবেগ কি স্কেলার রাশি নাকি ভেক্টর রাশি?
   উত্তর: কৌণিক ভরবেগ একটি ভেক্টর রাশি।
4. এসআই পদ্ধতিতে কৌণিক ভরবেগের একক কী?
   উত্তর: এসআই পদ্ধতিতে কৌণিক ভরবেগের একক হলো কিলোগ্রাম-মিটার স্কয়ার প্রতি সেকেন্ড (kg·m)।²/s)।
5. কৌণিক ভরবেগ কীভাবে সংরক্ষিত হয়?
   উত্তর: বাহ্যিক টর্কবিহীন একটি বদ্ধ সিস্টেমে মোট কৌণিক ভরবেগ স্থির থাকে।
6. কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ নীতি কী?
   উত্তর: নীতিটি বলে যে, কোনো বাহ্যিক টর্ক প্রয়োগ না করা হলে একটি বদ্ধ সিস্টেমের মোট কৌণিক ভরবেগ স্থির থাকে।
7. একজন ফিগার স্কেটারের ঘূর্ণনের সাথে কৌণিক ভরবেগের সম্পর্ক কী?
   উত্তর: যখন একজন ফিগার স্কেটার ঘোরার সময় তার হাত ও পা শরীরের কাছে টেনে আনে, তখন তার জড়তার ভ্রামক কমে যায়, যার ফলে সে আরও দ্রুত ঘুরতে থাকে। এটি কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ নীতিকে প্রমাণ করে।
8. টর্ক এবং কৌণিক ভরবেগের মধ্যে সম্পর্ক কী?
   উত্তর: টর্ক ($\tau$) হলো কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার। গাণিতিকভাবে, τ=dলিটার/সেকেন্ড​.
9. কৌণিক বেগ ছাড়া কোনো বস্তুর কৌণিক ভরবেগ থাকা কি সম্ভব?
   উত্তর: না, কোনো বস্তুর কৌণিক ভরবেগ থাকলে তার কৌণিক বেগও থাকে। কৌণিক ভরবেগের মান ও দিক জড়তার ভ্রামক এবং কৌণিক বেগ উভয়ের উপরই নির্ভর করে।
10. জড়তার ভ্রামক কীভাবে কৌণিক ভরবেগকে প্রভাবিত করে?
    উত্তর: কৌণিক ভরবেগ (L) হলো জড়তার ভ্রামক (I) এবং কৌণিক বেগ (ω)-এর গুণফল। $L=I\omega$একটি নির্দিষ্ট কৌণিক বেগের জন্য জড়তার ভ্রামক বৃদ্ধি পেলে কৌণিক ভরবেগও বৃদ্ধি পাবে।
11. কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় স্পিন এবং কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগের মধ্যে পার্থক্য কী?
    উত্তর: স্পিন কৌণিক ভরবেগ হলো ইলেকট্রনের মতো কণার একটি সহজাত ধর্ম এবং এটি মহাকাশে গতির কারণে উদ্ভূত হয় না। অপরদিকে, কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ কোনো একটি কেন্দ্রীয় বিন্দুকে ঘিরে কণার গতির ফলে উদ্ভূত হয়।
12. গ্রহ ব্যবস্থা গঠনে কৌণিক ভরবেগের ভূমিকা কী?
    উত্তর: যখন একটি আণবিক মেঘ সংকুচিত হয়ে নক্ষত্র ও গ্রহ গঠন করে, তখন কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ নীতির কারণে পদার্থগুলো সংকুচিত হয়ে নবজাত নক্ষত্রের চারপাশে একটি চাকতির মতো আকার ধারণ করে, যেখান থেকে গ্রহ গঠিত হতে পারে।
13. একটি জাইরোস্কোপ কীভাবে মহাকাশে তার দিকবিন্যাস বজায় রাখে?
    উত্তর: একটি ঘূর্ণায়মান জাইরোস্কোপের কৌণিক ভরবেগ থাকে। যখন কোনো বাহ্যিক টর্ক এর অভিমুখ পরিবর্তন করার চেষ্টা করে, তখন কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ নীতির কারণে জাইরোস্কোপটি প্রযুক্ত টর্কের দিকের সাথে লম্বভাবে প্রিসেস করে বা এর ঘূর্ণন অক্ষ পরিবর্তন করে।
14. লাট্টুতে প্রিসেশন বা পূর্বসরণের কারণ কী?
    উত্তর: ঘূর্ণায়মান লাট্টুর প্রিসেশন ঘটে এর পিভট পয়েন্ট থেকে সরে থাকা ভরকেন্দ্রের উপর অভিকর্ষ বলের টর্কের কারণে। এই টর্কের ফলে লাট্টুটির কৌণিক ভরবেগের দিকের পরিবর্তন হয়, যা এটিকে প্রিসেশন করতে বাধ্য করে।
15. নক্ষত্রগুলো তাদের মেরু অঞ্চলে চ্যাপ্টা হয় কেন?
    উত্তর: নক্ষত্ররা ঘোরার সময় একটি কেন্দ্রবিমুখী বল অনুভব করে, যা পদার্থকে বাইরের দিকে ঠেলে দেয়। এই প্রভাব মেরু অঞ্চলের চেয়ে বিষুবরেখায় বেশি শক্তিশালী, যার ফলে নক্ষত্রগুলো চ্যাপ্টা বা উপবৃত্তাকার আকৃতি লাভ করে।
16. কৌণিক ভরবেগের সাথে কেপলারের দ্বিতীয় সূত্রের সম্পর্ক কী?
    উত্তর: কেপলারের দ্বিতীয় সূত্রানুসারে, কোনো গ্রহ ও সূর্যকে সংযোগকারী একটি রেখাংশ সমান সময় ব্যবধানে সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে। এটি কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ নীতির একটি ফল।
17. বিড়াল পড়ে গেলে কেন সবসময় নিজের পায়ের উপর ভর দিয়ে নামে?
    উত্তর: বিড়ালেরা কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ নীতি ব্যবহার করে। শূন্যে থাকাকালীন নিজেদের শরীর মোচড় দিয়ে এবং জড়তার ভ্রামক পরিবর্তন করে, তারা সংরক্ষণ নীতি লঙ্ঘন না করেই নিজেদের অভিমুখী করে পায়ের উপর ভর দিয়ে নামতে পারে।
18. ইলেকট্রনের কৌণিক ভরবেগের সাথে চৌম্বক ভ্রামকের সম্পর্ক কী?
    উত্তর: একটি ইলেকট্রনের চৌম্বক ভ্রামক তার স্পিন এবং কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ থেকে উদ্ভূত হয়। চৌম্বক ভ্রামক ইলেকট্রনটির কৌণিক ভরবেগের সমানুপাতিক।
19. পোলার স্থানাঙ্কের সাপেক্ষে কৌণিক ভরবেগ কী?
    উত্তর: পোলার স্থানাঙ্কে, কৌণিক ভরবেগ $L$ একটি বিন্দু ভরের জন্য প্রকাশ করা যেতে পারে $L=mrv$, কোথায় $m$ ভর হল, $r$ ব্যাসার্ধ দূরত্ব, এবং $v$ হলো স্পর্শকীয় বেগ।
20. দুটি বস্তুর সংঘর্ষ হলে একটি বদ্ধ সিস্টেমের কৌণিক ভরবেগের কী হয়?
    উত্তর: একটি বদ্ধ সিস্টেমে দুটি বস্তুর সংঘর্ষ হলে, যদি সিস্টেমের উপর কোনো বাহ্যিক টর্ক কাজ না করে, তবে সংঘর্ষের আগের মোট কৌণিক ভরবেগ সংঘর্ষের পরের মোট কৌণিক ভরবেগের সমান হয়।

সমস্যা এবং সমাধান

1. সমস্যা: m = 2 kg ভরের একটি বিন্দু r = 4 m ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে v = 3 m/s বেগে গতিশীল। বৃত্তের কেন্দ্র সাপেক্ষে এর কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় করুন।

সমাধান: $L=m\times r\times v$ =২×৪×৩=২৪ কেজি.মি²/s

2. সমস্যা: ৩ কেজি ভর এবং ০.৫ মিটার ব্যাসার্ধের একটি নিরেট গোলক তার ব্যাস বরাবর ω = ২ রেডিয়ান/সেকেন্ড কৌণিক বেগে ঘুরছে। এর কৌণিক ভরবেগ কত?

সমাধান: একটি নিরেট গোলকের ক্ষেত্রে, I=2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5)²×২=০.৬ কেজি.মি²/s

3. সমস্যা: ৩ কেজি ভরের একটি বিন্দু বস্তু ৪ মি/সে বেগে একটি সরলরেখায় গতিশীল। এর গতিপথ থেকে ৫ মিটার দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর সাপেক্ষে এর কৌণিক ভরবেগ কত?

সমাধান:

$L=m\times v\times r$

L=৩×৪×৫=৬০ কেজি.মি²/s

4. সমস্যা: ৫ কেজি ভর ও ৩ মিটার ব্যাসার্ধের একটি চাকতি ২ রেডিয়ান/সেকেন্ড কৌণিক বেগে ঘুরছে। এর কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় করুন।

সমাধান: একটি ডিস্কের জন্য, I=1/2​m r²

$L=I\times \omega$

L=১/২×৫×৩²×২=০.৬ কেজি.মি²/s

5. সমস্যা: ৪ মিটার দৈর্ঘ্য ও ২ কেজি ভরের একটি দণ্ড তার এক প্রান্তকে কেন্দ্র করে ৩ রেডিয়ান/সেকেন্ড কৌণিক বেগে ঘুরছে। এর কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় করুন।

সমাধান: একটি দণ্ডের এক প্রান্ত সম্পর্কে, I=1/3​ m l²

$L=I\times \omega$

L=১/২×৫×৩²×২=০.৬ কেজি.মি²/s

6. সমস্যা: কোনো ঘূর্ণায়মান বস্তু তার কৌণিক বেগ দ্বিগুণ করলে তার কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তন কত হবে?

সমাধান: কৌণিক ভরবেগ (L) এবং কৌণিক বেগ (ω)-এর মধ্যে সম্পর্কটি হলো $L=I\times \omega$যদি ω দ্বিগুণ করা হয়, তাহলে কৌণিক ভরবেগও দ্বিগুণ হবে।

7. সমস্যা: কোনো গতিশীল কণার বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হলে এবং তার বেগ স্থির রাখা হলে, কৌণিক ভরবেগ কী পরিমাণে পরিবর্তিত হবে?

সমাধান: কৌণিক ভরবেগ, $L=m\times r\times v$যদি r দ্বিগুণ হয়, তাহলে L-ও দ্বিগুণ হবে।

8. সমস্যা: ৩০ কেজি ভরের একটি শিশু একটি স্থির ঘূর্ণায়মান রাইডের কিনারায় দাঁড়িয়ে আছে। রাইডটির ব্যাসার্ধ ২ মিটার। যদি শিশুটি ভূমির সাপেক্ষে ২ মি/সে বেগে কিনারা বরাবর দৌড়াতে শুরু করে, তবে কেন্দ্র সাপেক্ষে শিশুটির কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় করুন।

সমাধান: $L=m\times r\times v$ =২×৪×৩=২৪ কেজি.মি²/s

9. সমস্যা: ৬ কেজি ভর এবং ২ মিটার ব্যাসার্ধের একটি সিলিন্ডার তার কেন্দ্রীয় অক্ষকে কেন্দ্র করে ৫ রেডিয়ান/সেকেন্ড কৌণিক বেগে ঘুরছে। এর কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় করুন।

সমাধান: একটি সিলিন্ডারের জন্য, I=1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$ =১/২×৬×২²×২=০.৬ কেজি.মি²/s

10. সমস্যা: কোনো বস্তুর জড়তার ভ্রামক অর্ধেক এবং কৌণিক বেগ তিনগুণ করা হলে তার নতুন কৌণিক ভরবেগ কত হবে?

সমাধান: প্রদত্ত $L=I\times \omega$, যদি $I$ অর্ধেক করা হয় এবং $\omega$ তিনগুণ করা হয়েছে, নতুন $L$ হবে ১/২×৩=১.৫× মূল.

11. সমস্যা: ২ কেজি ভর ও ১ মিটার ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তচাপ ৪ রেডিয়ান/সেকেন্ড কৌণিক বেগে ঘুরছে। এর কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় করুন।

সমাধান: একটি হুপের জন্য, I=m r²

$L=I\times \omega$

L=২×১²×২=০.৬ কেজি.মি²/s

12. সমস্যা: একটি পাখার ব্লেডগুলোর দৈর্ঘ্য ০.৫ মিটার এবং মোট ভর ১ কেজি। যদি এটি ১০ রেডিয়ান/সেকেন্ড কৌণিক গতিবেগে ঘোরে, তবে এর কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় করুন।

সমাধান: পাখার ব্লেডগুলোকে যদি এক প্রান্তকে কেন্দ্র করে ঘূর্ণায়মান দণ্ডের মতো ধরে নেওয়া হয়, I= 1 / 3 ​ml²

$L=I\times \omega$ =১/২×৬×২²×২=০.৬ কেজি.মি²/s

13. সমস্যা: পৃথিবীর ঘূর্ণনের কারণে নিজ অক্ষের সাপেক্ষে এর কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় করুন। প্রদত্ত: পৃথিবীর ভর = 5.972। 10²⁴ kg, ব্যাসার্ধ $r=6371\text{km}$, ω=7.27×10^-5Rad / সেকেন্ড.

সমাধান: পৃথিবীকে একটি নিরেট গোলক হিসেবে ধরে নিলে, I=2/5 ​mr²

$L=I\times \omega$ =১/২×৬×২²⁴×(6371×10³)²7.27 10 × XNUMX^-5

L≈7.07×10³³kg.m²/s

14. সমস্যা: একটি শিশু একটি ঘূর্ণায়মান প্ল্যাটফর্মের কেন্দ্রের দিকে এগিয়ে যায়। কৌণিক ভরবেগ কি বাড়বে, কমবে নাকি একই থাকবে?

সমাধান: কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে। শিশুটি কেন্দ্রের দিকে অগ্রসর হওয়ার সাথে সাথে তার জড়তার ভ্রামক হ্রাস পায়। কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষণ করার জন্য, কৌণিক বেগ বৃদ্ধি করা হয়। ফলে, কৌণিক ভরবেগ একই থাকে।

15. সমস্যা: যদি কোনো ঘূর্ণায়মান বস্তুর গতিশক্তি দ্বিগুণ করা হয়, তবে তার কৌণিক ভরবেগ কী গুণ পরিবর্তিত হবে?

সমাধান: গতিসম্পর্কিত শক্তি K= 1 / 2 ​Iω² এবং কৌণিক ভরবেগ $L=I\omega$যদি গতিশক্তি দ্বিগুণ করা হয় এবং $I$ অপরিবর্তিত থাকে, ω² দ্বিগুণ করা হয়। এর মানে হল যে $\omega$ একটি গুণক দ্বারা বৃদ্ধি করা হয় √2​। সুতরাং, $L$ এছাড়াও একটি গুণক দ্বারা বৃদ্ধি পায় √2​.

16. সমস্যা: ০.৩ মিটার ব্যাসার্ধের একটি সাইকেলের চাকার রিমের ভর ১.৫ কেজি। যদি এটি ৫ রেডিয়ান/সেকেন্ড কৌণিক গতিবেগে ঘোরে, তবে এর কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় করুন।

সমাধান: রিমটিকে একটি হুপ হিসেবে ধরে নিলে, I=mr²

$L=I\times \omega$ =২×৪×৩=২৪ কেজি.মি²/s

L=1.5×0.32×5=6.75kg.m²/s

17. সমস্যা: একজন আইস স্কেটার ঘোরার সময় তার হাত দুটি ভেতরের দিকে টেনে নেয়। এতে তার কৌণিক ভরবেগের কী হয়?

সমাধান: স্কেটারের কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে। হাত দুটি ভেতরে টেনে আনার মাধ্যমে সে তার জড়তার ভ্রামক হ্রাস করে, এবং এর ফলে তার কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষণের জন্য সে আরও দ্রুত ঘোরে (কৌণিক বেগ বৃদ্ধি পায়)।

18. সমস্যা: একটি ফ্লাইহুইলের জড়তার ভ্রামক ০.২। kg.m²kg.m² এবং এটি 10 ​​rad/s কৌণিক বেগে ঘুরছে। এর কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় করুন।

সমাধান:

$L=I\times \omega$ =০.২×১০=২ কেজি.মি²/s

L=0.2×10=2 kg.m²/s

19. সমস্যা: একটি সিস্টেমের উপর মোট বাহ্যিক টর্ক শূন্য। এর কৌণিক ভরবেগ সম্পর্কে আপনি কী বলতে পারেন?

সমাধান: যদি মোট বাহ্যিক টর্ক শূন্য হয়, তাহলে কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ নীতি অনুসারে, সিস্টেমের মোট কৌণিক ভরবেগ স্থির থাকে।

20. সমস্যা: m = 5 kg ভরের একটি বিন্দু P-কে তার সাথে সংযোগকারী রেখার উপর লম্বভাবে v = 3 m/s বেগে গতিশীল। যদি P বিন্দু থেকে এর দূরত্ব 4 m হয়, তবে P বিন্দুর সাপেক্ষে এর কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় করুন।

সমাধান:

$L=m\times r\times v$ =২×৪×৩=২৪ কেজি.মি²/s

L=5×4×3=60kg.m²/s