কণার জড়তার ভ্রামক – সমস্যা ও সমাধান

১. নিচের চিত্রে দেখানো অনুযায়ী, একটি দণ্ড দ্বারা দুটি বল সংযুক্ত আছে। দণ্ডটির ভর উপেক্ষা করুন । P বলটির ভর ৬০০ গ্রাম এবং Q বলটির ভর ৪০০ গ্রাম। AB তলের সাপেক্ষে এই ব্যবস্থাটির জড়তার ভ্রামক কত?

জ্ঞাত :

ঘূর্ণন অক্ষটি হলো AB। কণার জড়তার ভ্রামক – সমস্যা ও সমাধান ১

m _p = ৬০০ গ্রাম = ০.৬ কেজি, m _q = ৪০০ গ্রাম = ০.৪ কেজি

r _p = ২০ সেমি = ০.২ মি, r _q = ৫০ সেমি = ০.৫ মি

নির্ণেয় : সিস্টেমটির জড়তার ভ্রামক।

সমাধান:

I = m _p r _p² + m _q r _q²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ² + (0.4 kg)(0.5 m) ²

I = (0.6 kg)(0.04 m ² ) + (0.4 kg)(0.25 m ² )

I = ৫০ কেজি মি² ⁺ ১০৮ কেজি ^মি²

I = 0.124 kg m ²

২. ২ কেজি ভরের AB দণ্ডটিকে A বিন্দুকে কেন্দ্র করে ঘোরালে এর জড়তার ভ্রামক হয় ৮ কেজি মি² ^। যদি এটিকে O বিন্দুকে কেন্দ্র করে ঘোরানো হয় (AO = OB), তবে দণ্ডটির জড়তার ভ্রামক কত হবে?

জ্ঞাত : কণার জড়তার ভ্রামক – সমস্যা ও সমাধান ১

AB দণ্ডের ভর (m) = 2 kg

যদি A বিন্দুকে কেন্দ্র করে এমনভাবে ঘোরানো হয় যাতে ঘূর্ণন ব্যাসার্ধ (r) = AB-এর দৈর্ঘ্য = r হয়, তাহলে জড়তার ভ্রামক (I) = 8 kg ^m²

জ্ঞাতব্য: যদি দণ্ডটিকে O বিন্দুকে কেন্দ্র করে এমনভাবে ঘোরানো হয় যেন ঘূর্ণন ব্যাসার্ধ (r) = AO-এর দৈর্ঘ্য = OB-এর দৈর্ঘ্য = 1/2 r হয়, তাহলে দণ্ডটির জড়তার ভ্রামক কত হবে?

সমাধান:

আমি = জনাব ^২

8 kg m ² = (2 kg) r ²

8 মি ² = (2) আর ²

r ² = 8 m ² / 2

r ² = 4 মি ²

r = ২ মিটার

যদি O বিন্দুকে কেন্দ্র করে এমনভাবে ঘোরানো হয় যাতে ½ r = 1 মিটার হয়, তাহলে জড়তার ভ্রামক:

I = mr ² = (2 kg)(1 m ) ² = (2 kg)(1 m ² ) = 2 kg m ²

৩. নিচের চিত্রে দেখানো অনুযায়ী একটি দণ্ড দ্বারা দুটি বল সংযুক্ত আছে। দণ্ডটির ভর উপেক্ষা করুন। সিস্টেমটির জড়তার ভ্রামক কত?

জ্ঞাত :

বল A-এর ভর (m)_A) = ২০ গ্রাম = ০.০২ কেজি কণার জড়তার ভ্রামক – সমস্যা ও সমাধান ১

বল B-এর ভর (m _B ) = ২০০ গ্রাম = ০.২ কেজি

বল A এবং ঘূর্ণন অক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব (r _A ) = 0

বল B এবং ঘূর্ণন অক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব (r _B ) = 25 সেমি = 0.25 মি

নির্ণেয় : সিস্টেমটির জড়তার ভ্রামক।

সমাধান:

বল A-এর জড়তার ভ্রামক :

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(0) ² = 0

বল B-এর জড়তার ভ্রামক :

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

সিস্টেমটির জড়তার ভ্রামক:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m ² = 25 x 10 ^-3 kg m ²

৪. নিচের চিত্রে ভিন্ন ভিন্ন ভরের চারটি কণা দেখানো হয়েছে। অনুভূমিক রেখা P-এর সাপেক্ষে সিস্টেমটির জড়তার ভ্রামক নির্ণয় করুন।

সমাধান

ঘূর্ণন অক্ষ হলো অনুভূমিক রেখা P।

জ্ঞাত : কণার জড়তার ভ্রামক – সমস্যা ও সমাধান ১

কণা A-এর ভর (m _A ) = m

কণা B-এর ভর (m _B ) = 2m

কণা C-এর ভর (m _C ) = 3m

কণার গমনপথ D (m _D ) = 4m

কণা A এবং ঘূর্ণন অক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব (r _A ) = b

কণা B এবং ঘূর্ণন অক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব (r _B ) = b

কণা C এবং ঘূর্ণন অক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব (r _C ) = 2b

কণা D এবং ঘূর্ণন অক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব (r _D ) = 2b

নির্ণেয় : অনুভূমিক রেখা P সাপেক্ষে সিস্টেমটির জড়তার ভ্রামক।

সমাধান:

I = m _A r _A² + m _B r _B² + m _C r _C² + m _D r _D²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = ৩১ এমবি ^২

৫. একটি দণ্ড দ্বারা সংযুক্ত চারটি কণা। দণ্ডটির ভর উপেক্ষা করুন। নিচের চিত্রে দেখানো _m₁ এবং m₂ _কণার মধ্য দিয়ে যাওয়া ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক নির্ণয় করুন।

পরিচিত

কণা ১ এর ভর (m)₁) = ১/৪ কেজি কণার জড়তার ভ্রামক – সমস্যা ও সমাধান ১

কণা ৪-এর ভর (m₄ ₎ = ১/৪ কেজি

কণা ২ এবং ঘূর্ণন অক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব (r ₁ ) = 0

কণা ২ এবং ঘূর্ণন অক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব (r ₂ ) = 0

কণা ৪ এবং ঘূর্ণন অক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব (r₄ ₎ = ১০ সেমি = ১০/১০০ মি = ১/১০ মি

مطلوب : জড়তার ভ্রামক

সমাধান:

I = m ₁ r ₁² + m ₂ r ₂² + m ₃ r ₃² + m ₄ r ₄²

I = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = ১/৪০০ + ১/৪০০

I = ২৪/১০

I = ১/২০০ ^{কেজি.মি²}

একটি কণার জড়তার ভ্রামক কী?
- উত্তরভরের একটি একক কণার জন্য $m$ দূরে $r$ ঘূর্ণন অক্ষ থেকে, এর জড়তার ভ্রামক $I$ দেওয়া হয় $I = m \times r^{2}$ .
কেন জড়তার ভ্রামককে প্রায়শই ভরের “ঘূর্ণন প্রতিরূপ” বলা হয়?
- উত্তরঠিক যেমন নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুসারে ভর হলো কোনো বস্তুর রৈখিক গতির পরিবর্তনের প্রতিরোধের পরিমাপ, তেমনই জড়তার ভ্রামক হলো কোনো বস্তুর ঘূর্ণন গতির পরিবর্তনের প্রতিরোধের পরিমাপ।
কোনো কণার তার ঘূর্ণন অক্ষ থেকে দূরত্ব পরিবর্তন করলে তার জড়তার ভ্রামকের উপর কী প্রভাব পড়ে?
- উত্তরজড়তার ভ্রামক ঘূর্ণন অক্ষ থেকে দূরত্বের বর্গের সমানুপাতিক। যদি আপনি দূরত্ব দ্বিগুণ করেন, তাহলে জড়তার ভ্রামক চারগুণ বেড়ে যাবে।
দূরত্বের বর্গ (r) কেন²জড়তার ভ্রামকের সূত্রে শুধু দূরত্বের পরিবর্তে ) ব্যবহার করা হয়?
- উত্তরঘূর্ণন গতিশক্তির কার্যপ্রণালীর কারণে দূরত্বের বর্গ ব্যবহার করা হয়। ঘূর্ণন গতিতে, বস্তুর প্রতিটি কণা তার ভর এবং অক্ষ থেকে দূরত্বের বর্গের উপর ভিত্তি করে ঘূর্ণন গতিশক্তিতে অবদান রাখে।
অক্ষ থেকে দূরত্ব স্থির রেখে কোনো কণার ভর তিনগুণ করা হলে তার জড়তার ভ্রামক কীভাবে পরিবর্তিত হয়?
- উত্তরযদি ভর তিনগুণ করা হয় এবং দূরত্ব স্থির রাখা হয়, তাহলে জড়তার ভ্রামকও তিনগুণ হবে, কারণ এটি ভরের সমানুপাতিক।
কোনো কণার জড়তার ভ্রামক কি শূন্য হতে পারে? যদি পারে, তবে কী শর্তে?
- উত্তরহ্যাঁ, একটি কণার জড়তার ভ্রামক শূন্য হবে যদি এটি সরাসরি ঘূর্ণন অক্ষের উপর অবস্থিত থাকে, যার ফলে এর দূরত্ব হয় $r$ অক্ষ থেকে শূন্যের সমান।
একই ভর ও আকারের বস্তু যখন ভিন্ন ভিন্ন অক্ষ বরাবর ঘোরে, তখন তাদের জড়তার ভ্রামক ভিন্ন হয় কেন?
- উত্তরঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে ভরের বন্টন জড়তার ভ্রামক নির্ধারণ করে। এমনকি দুটি বস্তুর ভর ও আকার একই হলেও, ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে তাদের ভরের বন্টন ভিন্ন হতে পারে, যার ফলে তাদের জড়তার ভ্রামকও ভিন্ন হয়।
জড়তার ভ্রামক কি স্কেলার না ভেক্টর রাশি?
- উত্তরজড়তার ভ্রামক একটি স্কেলার রাশি। তবে, জটিল আকৃতি এবং একাধিক ঘূর্ণন অক্ষবিশিষ্ট দৃঢ় বস্তুর ক্ষেত্রে একে টেনসর দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যদি দুটি কণার, প্রতিটির ভর $m$ , দূরত্বে অবস্থিত $r_{1}$ এবং $r_{2}$ ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে, সম্মিলিত জড়তার ভ্রামক কত?
- উত্তরপৃথক কণাগুলির জন্য জড়তার ভ্রামক যোগযোগ্য। সুতরাং, সম্মিলিত জড়তার ভ্রামক $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
জড়তার ভ্রামকের সাথে কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণশীলতার সম্পর্ক কী?
- উত্তরকৌণিক ভরবেগ $L$ জড়তার ভ্রামকের গুণফল $I$ এবং কৌণিক বেগ $ω$ , যা সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয় $L = I \times ω$ যদি কোনো সিস্টেমের উপর কোনো বাহ্যিক টর্ক কাজ না করে, তাহলে কৌণিক ভরবেগ স্থির থাকবে। এর মানে হলো, যদি জড়তার ভ্রামক পরিবর্তিত হয় (যেমন একজন ফিগার স্কেটার তার হাত গুটিয়ে নিলে), তাহলে কৌণিক বেগকে অবশ্যই সামঞ্জস্য করতে হবে যাতে এই গুণফলটি স্থির থাকে।