বক্র পৃষ্ঠে যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ – সমস্যা ও সমাধান

বক্র পৃষ্ঠে যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ – সমস্যা ও সমাধান

১. যদি A বিন্দুতে বলটির গতিবেগ 6 m/s, B বিন্দুতে গতিবেগ √92 m/s এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ g = 10 m/s² ^হয় , তবে B বিন্দুর উচ্চতা (h) কত?

জ্ঞাত :

A বিন্দুতে বলের গতি (v)_A) = ১০ মি/সে

B বিন্দুতে বলটির বেগ (v _B ) = √92 মি/সে

অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 m/ ^s²

A-এর উচ্চতা (h _A ) = ৫.৬ মিটার

B এর উচ্চতা (h _B ) = h

প্রয়োজনীয় : বিন্দু B-এর উচ্চতা (h)

সমাধান:

প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি = মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি

A বিন্দুতে, বলটির গতিবেগ = 0, সুতরাং বলটির গতিশক্তি = 0। KE = 1/2 mv ² = 1/2 m (0) = 0।

বলটি 5.6 মিটার উচ্চতায় আছে, তাই বলটির মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি আছে। মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m

প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি = মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি + গতিশক্তি = ৫৬ মি + ০ = ৫৬ মি

চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি = মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি + গতিশক্তি

B বিন্দুতে, বলটির উচ্চতা h। মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি: PE = mgh = m (10) h = 10 mh

বলটির গতিশক্তি : KE = 1/2 mv ² = 1/2 m (√92) ² = 1/2 m (92) = 46 m

চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি = মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি + গতিশক্তি = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)

যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ নীতি:

প্রাথমিক যান্ত্রিক শক্তি = চূড়ান্ত যান্ত্রিক শক্তি

৫৬ মি = মি (১০ ঘন্টা + ৪৬)

৫৬ = ১০ ঘন্টা + ৪৬

৫৬ – ৪৬ = ১০ ঘন্টা

১০০ = ২০ ঘন্টা

h = ১০০/২০

h = ৫ মিটার

2.

যদি প্রাথমিক বেগ = 0 এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ = 10 m/s² হয় ^, তাহলে B উচ্চতায় দ্রুতি কত?

জ্ঞাত :

প্রাথমিক গতি (v _o ) = 0

প্রাথমিক উচ্চতা (h _o ) = ৫০ মি – ১০ মি = ৪০ মি

চূড়ান্ত উচ্চতা (h _t ) = 0

অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 ms ^-2

প্রয়োজনীয় : চূড়ান্ত গতি (v _t )

সমাধান:

গতিশক্তির পরিবর্তন:

ΔKE = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 m (v _t ² – 0) = 1/2 mv _t ²

বিভব শক্তির পরিবর্তন:

ΔPE = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 m

যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ নীতির সমীকরণ ব্যবহার করে চূড়ান্ত বেগ (v _t ) নির্ণয় করুন :

0 = ΔKE + ΔPE

0 = 1/2 mv _t ² – 400 m

১/২ mv _t ² = ৪০০ মি

১/২ v _t ² = ৪০০

v _t ² = 2(400)

v _t = √(400)(2)

v _t = 20√2 মি/সে

1. “যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ” বলতে কী বোঝায়?
   • উত্তর: যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণশীলতার অর্থ হলো, কোনো বিচ্ছিন্ন ব্যবস্থার উপর যদি কেবল মহাকর্ষের মতো সংরক্ষণশীল বল কাজ করে, তবে তার মোট যান্ত্রিক শক্তি (গতিশক্তি ও স্থিতিশক্তির সমষ্টি) স্থির থাকে।
2. একটি বক্র তলের উপর দিয়ে চলমান কোনো বস্তু (যেমন একটি বক্র ঢাল বেয়ে গড়িয়ে নামা বল) কীভাবে তার যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণ করে?
   • উত্তর: বস্তুটি যখন বক্র পৃষ্ঠ বরাবর নিচে নামে, তখন স্থিতিশক্তি গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়, কিন্তু মোট যান্ত্রিক শক্তি স্থির থাকে, যদি ধরে নেওয়া হয় যে কোনো অসংরক্ষণশীল বল (যেমন ঘর্ষণ) কাজ করছে না।
3. যদি একটি বলকে একটি বক্র ঢালু পথের শীর্ষ থেকে স্থির অবস্থা থেকে ছেড়ে দেওয়া হয়, তবে পথটি বেয়ে নিচে নামার সময় এর গতিশক্তি কীভাবে পরিবর্তিত হয়?
   • উত্তর: ঢিবি বেয়ে নিচে নামার সময় বলটির গতিশক্তি বৃদ্ধি পায়, কারণ এর স্থিতিশক্তি হ্রাস পেয়ে গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়।
4. ঘর্ষণ না থাকলে, একটি বক্র স্লাইডের তলদেশে থাকা বলের গতিবেগ একই উচ্চতার একটি সরল স্লাইডের গতির সাথে তুলনা করলে কেমন হবে?
   • উত্তর: বক্র এবং সরল উভয় স্লাইডের ক্ষেত্রেই নীচে বলটির গতিবেগ একই হবে, কারণ স্থিতিশক্তি থেকে গতিশক্তিতে রূপান্তর কেবল উল্লম্ব উচ্চতার উপর নির্ভর করে, পথের উপর নয়।
5. একটি নির্দিষ্ট উচ্চতা থেকে নামানোর পর একটি বলকে বাঁকানো ঢালু পথ বেয়ে উপরে গড়িয়ে দিলে তা কেন তার আসল উচ্চতায় নাও পৌঁছাতে পারে?
   • উত্তর: যদি বলটির উপর ঘর্ষণের মতো অসংরক্ষণশীল বল কাজ করে, তবে তা গতির বিপরীতে কাজ করবে এবং বলটির কিছু যান্ত্রিক শক্তিকে তাপের মতো অন্য রূপে রূপান্তরিত করবে। ফলে, বলটির তার আসল উচ্চতায় পৌঁছানোর জন্য যথেষ্ট শক্তি নাও থাকতে পারে।
6. যদি দুটি ভিন্ন আকৃতির বস্তু (যেমন, একটি গোলক এবং একটি ঘনক) একই উচ্চতা থেকে একটি বক্র ঢাল বেয়ে গড়িয়ে না নেমে নিচে নামে, তবে নীচে পৌঁছানোর পর তাদের গতিবেগ কি একই হবে? কেন?
   • উত্তর: হ্যাঁ, সর্বনিম্ন বিন্দুতে তাদের গতিবেগ একই থাকবে। কোনো গড়ানো বা ঘর্ষণ না থাকলে, তাদের গতিবেগ নির্ধারণকারী একমাত্র নিয়ামক হলো প্রাথমিক উচ্চতার ওপর ভিত্তি করে শক্তির সংরক্ষণশীলতা, তাদের আকৃতি নয়।
7. কোনো তলের বক্রতা সেই তল বরাবর গতিশীল কোনো বস্তুর উপর প্রযুক্ত অভিলম্ব বলকে কীভাবে প্রভাবিত করে?
   • উত্তর: বস্তুর গতির সাথে সাথে এর বক্রতার কারণে অভিলম্ব বলের দিক পরিবর্তিত হয়। একটি অবতল ঊর্ধ্বমুখী তলে (যেমন একটি বাটির ভেতরটা), বক্র গতির জন্য প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বলের কারণে তলের দিকে অভিলম্ব বল বেশি হয়। বিপরীতভাবে, একটি উত্তল তলে, সর্বোচ্চ বিন্দুতে অভিলম্ব বল হ্রাস পেতে পারে বা এমনকি শূন্যও হয়ে যেতে পারে (বস্তুটি তল ছেড়ে চলে যায়)।
8. বক্র পৃষ্ঠে যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণে বক্রতা ব্যাসার্ধ কী ভূমিকা পালন করে?
   • উত্তর: বক্রতার ব্যাসার্ধ নিজে যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণকে সরাসরি প্রভাবিত করে না। তবে, এটি অভিলম্ব বলকে এবং ঘর্ষণ থাকলে, অসংরক্ষণশীল বলের কারণে হারানো শক্তির পরিমাণকে প্রভাবিত করতে পারে।
9. যদি কোনো ট্র্যাকের মাঝখানে একটি নিচু অংশ থাকে (যেমন একটি U-আকৃতির বাঁক), তাহলে কোনো বস্তু যখন সেই নিচু অংশটি অতিক্রম করে অপর পাশ দিয়ে উপরে ওঠে, তখন তার যান্ত্রিক শক্তি কীভাবে পরিবর্তিত হয়?
   • উত্তর: বস্তুটি যখন খাদে প্রবেশ করে তখন এর স্থিতিশক্তি হ্রাস পাবে এবং গতিশক্তি বৃদ্ধি পাবে। যখন এটি অপর পাশ দিয়ে উপরে উঠবে, তখন এর গতিশক্তি হ্রাস পাবে এবং স্থিতিশক্তি বৃদ্ধি পাবে। যদি কেবল সংরক্ষণশীল বল কাজ করে, তবে পুরো গতি জুড়ে মোট যান্ত্রিক শক্তি স্থির থাকে।
10. কোনো বস্তু যখন বক্রতলের উপর দিয়ে চলে, তখন কি তার রৈখিক ও ঘূর্ণন উভয় গতিশক্তি থাকতে পারে?

• উত্তর: হ্যাঁ, যদি বলের মতো কোনো বস্তু কোনো বক্রতলের ওপর দিয়ে (পিছলে না গিয়ে) গড়িয়ে যায়, তবে এর ভরকেন্দ্রের গতির কারণে রৈখিক গতিশক্তি এবং নিজ অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণনের কারণে ঘূর্ণন গতিশক্তি উৎপন্ন হয়।