একক ভেক্টর উপাংশ ব্যবহার করে বিন্দু গুণন বিষয়ক উপকরণ
যদি আমাদের জানা ভেক্টর A এবং B- এর x, y এবং z উপাংশগুলো জানা থাকে , তাহলে আমরা সরাসরি স্কেলার গুণফল নির্ণয় করতে পারি।
এইভাবে ডট প্রোডাক্ট করার জন্য, আমরা প্রথমে একক ভেক্টরগুলোর ডট প্রোডাক্ট করি, এরপর ভেক্টর A এবং B- কে তাদের উপাংশে প্রকাশ করি, গুণফলটিকে বিশ্লেষণ করি এবং একক ভেক্টরগুলোর গুণফল ব্যবহার করি।
একক ভেক্টর i , j, এবং k পরস্পরের উপর লম্ব, যা গণনাকে সহজ করে তোলে। উপরে প্রাপ্ত স্কেলার গুণন সমীকরণ ( AB = AB cos θ ) ব্যবহার করে আমরা পাই:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
এখন আমরা ভেক্টর A এবং B-কে তাদের উপাংশগুলোর মাধ্যমে প্রকাশ করব, তাদের গুণফলকে বিশ্লেষণ করব এবং একক ভেক্টরগুলোর গুণফল ব্যবহার করব।
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
কারণ i . i = j . j = k . k = ১ এবং i . j = i . k = j . k = ০, তাহলে:
A . B = AxBx (1)+ AxBy (0)+ Ax Bz (0) +
AyBx (0)+ AyBy (1)+ AyBz (0) +
AzBx (0)+ AzBy (0)+ AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
এই গণনার ফলাফলের ভিত্তিতে এই সিদ্ধান্তে আসা যায় যে, দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল বা ডট গুণফল হলো তাদের সদৃশ উপাংশগুলোর গুণফলের সমষ্টি।
উদাহরণ প্রশ্ন ১:
বৃহৎ ভেক্টর A দেনিযেল B যথাক্রমে ৫ এবং ৪, যা নিচের ছবিতে দেখানো হয়েছে। গঠিত কোণটি ৯০°।oএটা গণনা করুন ডট প্রোডাক্ট উভয় ভেক্টর।
আলোচনা
A এবং B ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট নির্ণয় করার আগে, আমাদের প্রথমে দ্বিতীয় ভেক্টরটির উপাদানগুলো জানতে হবে।
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
একটি z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
ভেক্টর A-এর শুধুমাত্র x-অক্ষের উপর এবং ভেক্টর B-এর শুধুমাত্র y-অক্ষের উপর উপাংশগুলো রয়েছে। z উপাংশটি শূন্য, কারণ ভেক্টর A এবং B উভয়ই xy সমতলে অবস্থিত।
এখন আমরা উপাংশ ভেক্টরসহ ডট প্রোডাক্ট সমীকরণটি ব্যবহার করে ভেক্টর A এবং B- এর ডট প্রোডাক্ট নির্ণয় করব:
ক। B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
এ. বি = ০
চলুন এটিকে প্রথম পদ্ধতির সাথে তুলনা করা যাক।
AB = AB cos θ
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
ফলাফল একই।
উদাহরণ প্রশ্ন ১:
বৃহৎ ভেক্টর A দেনিযেল B নিচের ছবিতে দেখানো অনুযায়ী এদের মান যথাক্রমে ৫ এবং ৪। গণনা করুন। ডট প্রোডাক্ট উভয় ভেক্টর, যদি গঠিত কোণটি ৩০° হয়o
আলোচনা
A এবং B ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট নির্ণয় করার আগে, আমাদের প্রথমে দ্বিতীয় ভেক্টরটির উপাদানগুলো জানতে হবে।
z উপাংশ শূন্য, কারণ A এবং B ভেক্টর দুটি xy সমতলে অবস্থিত।
এখন আমরা উপাংশ ভেক্টরসহ ডট প্রোডাক্ট সমীকরণটি ব্যবহার করে ভেক্টর A এবং B- এর ডট প্রোডাক্ট নির্ণয় করব:
প্রথম পদ্ধতির সাথে তুলনা করুন।
