অধিবৃত্তে গতিশীল কোনো বস্তুর অবস্থান নির্ণয় করার প্রশ্নের একটি উদাহরণ।

পরাবৃত্তাকার পথে গতিশীল কোনো বস্তুর অবস্থান নির্ণয় সম্পর্কিত প্রশ্নের ৩টি উদাহরণ

২. বলটি ৩০° কোণে উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হয়।^o একটি বস্তুকে ১২ মি/সেকেন্ড প্রাথমিক বেগে অনুভূমিকভাবে চালনা করা হলো। ১ সেকেন্ড চলার পর বস্তুটির অবস্থান নির্ণয় করুন। মহাকর্ষের ত্বরণ = 10 মি/সেকেন্ড²
আলোচনা
এটা জানা যায় যে:
কোণ (θ) = ৬০^o
কেসেপটান শুরু (v)_o) = ১০ মি/সে
সময় ব্যবধান (t) = ২.৮ সেকেন্ড
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে: ১ সেকেন্ড নড়াচড়া করার পর বলের অবস্থান
উত্তর :
প্রথমে বলটির অনুভূমিক এবং উল্লম্ব দিকের প্রাথমিক বেগের উপাংশগুলো নির্ণয় করুন।
অনুভূমিক দিকে বলটির প্রাথমিক বেগ:
v_ox = ভি_o cos θ = (12 m/s)(cos 60^o) = (৩০ মি/সে)(০.৫) = ১৫ মি/সে

উল্লম্ব দিকে বলটির প্রাথমিক বেগ:
v_oy = ভি_o sin θ = (12 m/s)(sin 60^o) = (৩০ মি/সে)(০.৫√৩) = ১৫√৩ মি/সে

অধিবৃত্তীয় গতিকে অনুভূমিক এবং উল্লম্ব গতির সংমিশ্রণ হিসেবে বিবেচনা করা হয়। অনুভূমিক গতি নিম্নরূপে বিশ্লেষণ করা হয়: অভিন্ন রৈখিক গতি, যেখানে উল্লম্ব দিকের গতিকে বিশ্লেষণ করা হয় ঊর্ধ্বমুখী উল্লম্ব গতিঅনুভূমিক দিকে কোনো বস্তুর অবস্থান নির্ণয় করা হয়, ঠিক যেমনভাবে একটি বস্তু স্থির হারে সরলরেখায় অগ্রসর হলে তার দূরত্ব নির্ণয় করা হয়; বিপরীতভাবে, উল্লম্ব দিকে কোনো বস্তুর অবস্থান নির্ণয় করা হয়, ঠিক যেমনভাবে একটি বস্তু খাড়াভাবে উপরের দিকে উঠলে তার উচ্চতা নির্ণয় করা হয়।

অনুভূমিক দিকে বলটির অবস্থান:
এটা জানা যায় যে:
অনুভূমিক দিকে বলটির গতি (v)_x) = ১০ মি/সে
সুষম সরল গতিতে বস্তুর গতিবেগ স্থির থাকে, ফলে বস্তুটির প্রাথমিক গতিবেগ এবং চূড়ান্ত গতিবেগ একই হয়।
সময় ব্যবধান (t) = ২.৮ সেকেন্ড
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে: বস্তুসমূহের দূরত্ব
উত্তর :
প্রতি সেকেন্ডে ৬ মিটার গতিবেগের অর্থ হলো বলটি প্রতি সেকেন্ডে ৬ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। ১ সেকেন্ড পর বলটি ৬ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। সুতরাং, বলটির আনুভূমিক অবস্থান হলো ৬ মিটার।

উল্লম্ব দিকে বলটির অবস্থান:
ঊর্ধ্বমুখী উল্লম্ব গতির সমস্যা সমাধানে, ভেক্টর পরিমাণ যে ভেক্টরের দিক উপরের দিকে, তাকে ধনাত্মক চিহ্ন এবং যে ভেক্টরের দিক নিচের দিকে, তাকে ঋণাত্মক চিহ্ন দেওয়া হয়।
এটা জানা যায় যে:
বলটির প্রাথমিক বেগ (v)_o) = ১৫√৩ মি/সে (ধনাত্মক, কারণ প্রাথমিক বেগের দিক ঊর্ধ্বমুখী)
সময় ব্যবধান (t) = ২.৮ সেকেন্ড
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = -10 মি/সে²² (ঋণাত্মক, কারণ মহাকর্ষীয় ত্বরণ নিম্নমুখী এবং পৃথিবীর কেন্দ্রের দিকে কাজ করে)
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে: ১ সেকেন্ড চলার পর বলটির উচ্চতা (h)
উত্তর :
এটা জানা যায় যে v_ot, g এবং h চাওয়া হয়েছে, তাই ব্যবহৃত সূত্রটি হলো h = v_o t + 1/2 gt²
h = v_o t + 1/2 gt² = (6√3)(1) + 1/2 (-10)(1²) = 6√3 + (-5)(1) = 6√3 – 5 = 6(1,7) – 5 = 10,2 – 5 = 5,2 মিটার।

১ সেকেন্ড নড়াচড়া করার পর বলটির অবস্থান:
অনুভূমিক দিকে (x) বলটির অবস্থান = ৬ মিটার
উল্লম্ব দিকে (y) বলটির অবস্থান = ৫.২ মিটার
সুতরাং বলটির অবস্থানের স্থানাঙ্ক হল (x ; y) = (6 ; 5,2)

২. গুলিটি ৬০° কোণে উপরের দিকে ছোড়া হয়।^o ভূমি থেকে ২০ মিটার উঁচু একটি বিন্দু থেকে বুলেটটি আনুভূমিকভাবে ছোড়া হয়। বুলেটটির প্রাথমিক বেগ ৫০ মি/সে। ১ সেকেন্ড চলার পর বুলেটটি কত উঁচুতে পৌঁছাবে? অভিকর্ষজ ত্বরণ ১০ মি/সে²।²
আলোচনা
এটা জানা যায় যে:
কোণ (θ) = ৬০^o
বুলেটের প্রাথমিক উচ্চতা (h)_o) = ৬০০ মিটার
বুলেটের প্রাথমিক বেগ (v)_o) = ১০ মি/সে
সময় ব্যবধান (t) = ২.৮ সেকেন্ড
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে: বুলেটের উচ্চতা
উত্তর :
উল্লম্ব দিকে বুলেটের প্রাথমিক বেগ:
প্রথমে উল্লম্ব দিকে বলটির প্রাথমিক বেগের উপাংশ নির্ণয় করুন।
v_oy = ভি_o sin θ = (50 m/s)(sin 30^o) = (৩০ মি/সে)(০.৫) = ১৫ মি/সে

বুলেটের উচ্চতা:
ঊর্ধ্বমুখী উল্লম্ব গতিতে উচ্চতা নির্ণয় করার মাধ্যমে বুলেটের উচ্চতা গণনা করা হয়।
ঊর্ধ্বমুখী উল্লম্ব গতি সংক্রান্ত সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে, যে ভেক্টর রাশিটি উপরের দিকে নির্দেশিত হয় তাকে ধনাত্মক চিহ্ন এবং যে ভেক্টর রাশিটি নিচের দিকে নির্দেশিত হয় তাকে ঋণাত্মক চিহ্ন দেওয়া হয়।
এটা জানা যায় যে:
বুলেটের প্রাথমিক বেগ (v)_o) = ২০ মি/সে (ধনাত্মক, কারণ প্রাথমিক বেগের দিক ঊর্ধ্বমুখী)
সময় ব্যবধান (t) = ২.৮ সেকেন্ড
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = -10 মি/সে²² (ঋণাত্মক, কারণ মহাকর্ষীয় ত্বরণের দিক নিচের দিকে, অর্থাৎ পৃথিবীর কেন্দ্রের দিকে)
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে: বুলেটের উচ্চতা (h)
উত্তর :
এটা জানা যায় যে v_ot, g এবং h চাওয়া হয়েছে, তাই ব্যবহৃত সূত্রটি হলো h = v_o t + 1/2 gt²
h = v_o t + 1/2 gt² = (25)(1) + 1/2 (-10)(1²) = 25 + (-5)(1) = 25 – 5 = 20 মিটার।
১ সেকেন্ড চলার পর বুলেটটির উচ্চতা হবে গুলি ছোড়ার স্থান থেকে ২০ মিটার উপরে অথবা ভূমি থেকে ৪০ মিটার উপরে।

৩. একটি মার্বেলকে ১০ মিটার উচ্চতা থেকে ডানদিকে আনুভূমিকভাবে ১০ মি/সে প্রাথমিক বেগে নিক্ষেপ করা হলো। ১ সেকেন্ড চলার পর মার্বেলটির অবস্থান নির্ণয় করুন! অভিকর্ষজ ত্বরণ = ১০ মি/সে²।²
আলোচনা
এটা জানা যায় যে:
প্রাথমিক উচ্চতা (h) = ১০ মিটার
প্রাথমিক বেগ (v)_o) = ১০ মি/সে
সময় ব্যবধান (t) = ২.৮ সেকেন্ড
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে: ১ সেকেন্ড চলার পর মার্বেলের অবস্থান
উত্তর :
মার্বেলটির গতিপথ ছবিতে দেখানো অনুযায়ী। যদি গতিপথটি ছবির মতো অধিবৃত্তাকার হয়, তবে উল্লম্ব দিকে বস্তুটির অবস্থান নির্ণয় করা হয় মুক্ত পতনে উচ্চতা গণনার মতো করে, আর অনুভূমিক দিকে বস্তুটির অবস্থান নির্ণয় করা হয় সুষম সরল গতিতে দূরত্ব গণনার মতো করে।
প্রাথমিকভাবে মার্বেলটি অনুভূমিক দিকে এমনভাবে চলে যে অনুভূমিক দিকে মার্বেলটির প্রাথমিক বেগ (v)_ox) হল 10 মি/সে, যেখানে উল্লম্ব দিকে মার্বেলটির প্রাথমিক বেগ (v_oy) হল ০ মি/সে।

অনুভূমিক দিকে মার্বেলগুলোর অবস্থান:
এটা জানা যায় যে:
অনুভূমিক দিকে মার্বেলের গতি (v_x) = ১০ মি/সে
সুষম সরল গতিতে বস্তুর গতিবেগ স্থির থাকে, ফলে বস্তুটির প্রাথমিক গতিবেগ এবং চূড়ান্ত গতিবেগ একই হয়।
সময় ব্যবধান (t) = ২.৮ সেকেন্ড
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে: বস্তুসমূহের দূরত্ব
উত্তর :
প্রতি সেকেন্ডে ১০ মিটার গতিবেগের অর্থ হলো মার্বেলটি প্রতি সেকেন্ডে ১০ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। ১ সেকেন্ড চলার পর মার্বেলটি ১০ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। সুতরাং, মার্বেলটির আনুভূমিক অবস্থান হলো ১০ মিটার।

উল্লম্ব দিকে মার্বেলগুলোর অবস্থান:
বিশ্লেষণ করা হয়েছে মুক্ত পতন গতি.
এটা জানা যায় যে:
সময় ব্যবধান (t) = ২.৮ সেকেন্ড
অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 মি/সে²²
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে: ১ সেকেন্ড চলার পর মার্বেলটির উচ্চতা (h)
উত্তর :
t ও g দেওয়া আছে এবং h-এর মান জানতে চাওয়া হয়েছে, তাই ব্যবহৃত সূত্রটি হলো h = 1/2 gt²
h = 1/2 gt² = 1/2 (10)(1²) = (5)(1) = 5 মিটার।
১ সেকেন্ড পর মার্বেলটি ৫ মিটার নিচে পড়ে। ভূমি থেকে মার্বেলটির উচ্চতা হলো ১০ মিটার – ৫ মিটার = ৫ মিটার।

১ সেকেন্ড চলার পর মার্বেলটির অবস্থান:
অনুভূমিক দিকে (x) মার্বেলটির অবস্থান = ১০ মিটার
উল্লম্ব দিকে (y) মার্বেলটির অবস্থান = ৫ মিটার
সুতরাং মার্বেলটির অবস্থানের স্থানাঙ্ক হল (x ; y) = (10 ; 5)

[ইংরেজি : প্রক্ষেপণ গতির সমস্যা সমাধান – কোনো বস্তুর অবস্থান নির্ণয়]