Момент на инерция

1. Момент на инерция на частицата

Разгледайте въртяща се частица. На частицата с маса m е приложена сила F, така че частицата се върти около оста O. Частицата е на разстояние r от оста на въртене. Първо, частицата е в покой (v = 0). След като се движи под действието на силата F, частиците се движат с определена скорост, така че частиците имат тангенциално ускорение. Връзката между силата (F), масата (m) и тангенциалното ускорение на частиците се изразява с уравнение 3:

F = ma _tan (Уравнение 3)

Частиците се въртят така, че имат ъглово ускорение. Връзката между тангенциалното ускорение и ъгловото ускорение се изразява с уравнение 4:

a _tan = r α (Уравнение 4)

Заместете a в уравнение 3 с a в уравнение 4:

F = mr α

rF = ^mr²α

τ = (mr² ⁾ α (Уравнение 5)

r F е моментът на силата, а mr ² е моментът на инерция на частицата. Уравнение 5 определя връзката между момента на силата, момента на инерцията и ъгловото ускорение на въртящите се частици. Уравнение 5 е уравнението на втория закон на Нютон за въртящи се частици.

Моментът на инерция на частицата е произведението от масата на частицата (m) и квадрата на разстоянието между частиците спрямо оста на въртене (r² ⁾.

I = mr² ⁽ Уравнение 6)

I = момент на инерция на частицата, m = маса на частицата, r = разстояние между частицата и оста на въртене. Уравнение 6 се използва за определяне на момента на инерция на частица.

3.2 Примерни задачи за момента на инерция на частицата

Примерна задача 1.

Частица с маса 2 кг е била вързана за въже с дължина 0.5 метра и след това е била завъртяна. Какъв е моментът на инерция на частиците при въртене?

Решение:

Аз = Г-н ²

I = (2 кг) (0.5 м) ^²

I = 0.5 kg ^m²

Примерна задача 2.

Две частици, всяка с маса 2 кг и 4 кг, са свързани с лека жица, като дължината на жицата е 2 метра. Пренебрегнете масата на жиците. Определете момента на инерция на двете частици, ако:

а) Оста на въртене е разположена между двете частици

Решение:

I = m1 _/ r1 _/ ² + m2 ^/ _r2 / ₂

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 kg ^m²

б) Оста на въртене е на разстояние 0.5 метра от частицата с маса 2 кг

I = m1 _/ r1 _/ ² + m2 ^/ _r2 / ₂

I = (2)(0.5² ⁾ + (4)( ^1.5² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 kg ^m²

в) Оста на въртене е на разстояние 0.5 метра от частицата с маса 4 кг

I = m1 _/ r1 _/ ² + m2 ^/ _r2 / ₂

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 kg ^m²

Въз основа на резултатите от горните изчисления, моментът на инерция е силно повлиян от местоположението на оста на въртене. Въпреки че формата и размерът са еднакви, тъй като местоположението на оста на въртене е различно, моментът на инерция също е различен.

Частиците близо до оста на въртене имат по-малък момент на инерция, докато частиците, които са далеч от оста на въртене, имат по-голям момент на инерция. Ако приемем, че двете частици по-горе са твърди обекти, тогава всяка частица е близо до оста на въртене.

има по-малък момент на инерция от момента на инерция на частицата, която е по-далеч от оста на въртене.

3.3 Момент на инерция на хомогенно твърдо тяло

Твърдите обекти са съставени от много частици. Моментът на инерция на твърдо тяло е общият брой моменти на инерция на всяка частица, която изгражда обекта.

I = Σ ^mr²

I = m₁ r₁² + м₂ r₂² + м₃ r₃² + ….. + м_n r_n²

За да определим момента на инерция на твърд обект, трябва да наблюдаваме въртенето му, тъй като местоположението на оста на въртене влияе върху момента на инерция на обекта. Моментът на инерция (I) на всяка частица зависи също от масата (m) на частицата и квадрата на разстоянието (r² ⁾ на частицата от оста на въртене. Масата на всички частици, изграждащи обекта, е масата на обекта.

Проблемът е, че разстоянието на всяка частица от оста на въртене варира.

Прегледайте намаляването във формулата за момента на инерция на тънък пръстен с пръсти R и маса M.

Ако оста на въртене е разположена в центъра на пръстена, всички частици на тънкия пръстен са разположени спрямо оста на въртене. Моментът на инерция на тънък пръстен е равен на момента на инерция на всички частици:

I = Σ мр²

I = m₁ r₁² + м₂ r₂² + м₃ r₃² + ….. + м_n r_n²

Масата на всички частици = масата на тънкия пръстен (M)

I = M (r1 _/ ² + r2 _/ ^{2 +} r3 _/ ² + ….. + _rn2 )

Всяка частица от тънкия пръстен е на разстояние r от оста на въртене, така че _r1 = r2 ₌ r3 ₌ rn = R

Уравнението на момента на инерция на тънкия пръстен:

I = MR ²

I = момент на инерция на тънкия пръстен, M = маса на тънкия пръстен, R = радиус на тънкия пръстен.

Ами ако оста на въртене не е разположена в центъра на пръстена? Ако оста на въртене не е разположена в центъра на пръстена, формулата за момента на инерция на тънкия пръстен не може да бъде изведена с помощта на горния метод.

защото разстоянието на всяка частица от оста на въртене е различно. Извеждането на формулата за момента на инерция за подобна задача не се обсъжда в тази тема.

Формула за момента на инерция за някои твърди обекти

3.4 Примерна задача за момента на инерция на еднородно твърдо тяло

Примерна задача 1:

Прътовият цилиндър AB има маса 3 kg, когато се завърта през B,

Моментът на инерция е 27 kg m² ^. Какъв е моментът на инерция, ако

завъртяно през C?

Решение:

Решение:

Формула за момента на инерция за еднороден плътен прът (оста на въртене е в центъра на пръта):

I = 1/12 ML ²

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

Формулата за момента на инерция на хомогенен твърд прът (оста на въртене на ръба на пръта):

I = 1/3 ML ²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg ^m²