Ъглов импулс

Ъглов импулс

Количеството въртеливо движение, което е идентично с масата (m) при линейно движение, е моментът на инерция (I). Количеството въртеливо движение, което е идентично със скоростта (v) при линейно движение, е ъгловата скорост (ω). По този начин, въртящият се обект има ъглов момент, който може да се изчисли с помощта на уравнението:

L = Iω

L = ъглов момент (kg m² ^/ s), I = момент на инерция (kg m² ⁾ , ω = ъглова скорост (rad/s)

Примерни задачи за ъгловия момент

Примерна задача 1.

Частица с маса 0.5 грама се движи в кръг с постоянна ъглова скорост 2 rad/s. Определете ъгловия момент на частицата, ако радиусът на пътя на частицата е 10 cm.

Решение:

Моментът на инерция на частицата:

I = mr² ⁼ (0.5 x 10⁻³ ^{кг )} (1 x 10⁻¹ ^м ) ^² = (0.5 x ^10⁻³ кг)(1 x ^10⁻² м² ) = 0.5 x ^10⁻⁶ кг ^м²

Ъгловата скорост на частицата:

ω = 2 rad/s

Ъгловият момент на частицата:

L = (0.5 x 10⁻⁶ ^кг м² ⁾ (2 рад/с) = 1 x 10⁻⁶ ^кг м² ^/ с

Законът за запазване на ъгловия момент

Законът за запазване на ъгловия момент гласи, че ако резултантният момент на сила върху твърдо тяло при въртене е нула, тогава ъгловият момент на твърдото тяло при въртене е винаги постоянен. Законът за запазване на ъгловия момент може да се изведе математически чрез модифициране на уравнението на втория закон на Нютон за ъгловия момент. Ето уравнението на втория закон на Нютон за ъгловия момент:

Ако резултантният момент на сила е нула, тогава горното уравнение се променя на:

I _t = краен момент на инерция, I _o = начален момент на инерция, ω _t = крайна ъглова скорост, ω _o = начална ъглова скорост, L _t = краен ъглов момент, L _o = начален ъглов момент.

Примерни задачи от закона за запазване на ъгловия момент

Примерна задача 1.

Хомогенен твърд цилиндричен диск първоначално се върти около оста си със скорост 4 rad/s. Масата и радиусът на диска са 1 kg и 0.5 m. Ако над плочата се постави пръстен с маса и радиус 0.2 kg и 0.1 m, а центърът на пръстена е...

точно над центъра на диска, тогава дискът и пръстенът ще се въртят заедно с ъгловата скорост от…..

Решение:

Момент на инерция на плътен цилиндър: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Момент на инерция на пръстена: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Начален ъглов момент (L1 ₎ = Краен ъглов момент ( _L2 )

I1ω1 = _I2ω2​​_​​_​

(0.125 кг м² ⁾ (4 рад/с) = (0.125 кг м² ⁺ 0.002 кг м² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 : 0.127

ω² = ₄ рад/с

Концептуални въпроси и отговори

1. Какво е ъглов момент?
   Отговор: Ъгловият момент е мярка за количеството въртене, което даден обект има, като се има предвид неговата маса и форма. Той е ротационният аналог на линейния момент.
2. Как се определя ъгловият момент математически?
   Отговор: Ъгловият момент (L) се определя като $L=r\times p$, Където $r$ е векторът на позицията от оста на въртене до точката на приложение, и $p$ е линейният импулс.
3. Ъгловият момент скаларна или векторна величина ли е?
   Отговор: Ъгловият момент е векторна величина.
4. Каква е единицата за ъглов момент в системата SI?
   Отговор: Единицата за ъглов момент в системата SI е килограм-метър на квадрат за секунда (kg·m²/с).
5. Как се запазва ъгловият момент?
   Отговор: В затворена система без външни въртящи моменти, общият ъглов момент остава постоянен.
6. Какъв е принципът за запазване на ъгловия момент?
   Отговор: Принципът гласи, че общият ъглов момент на затворена система остава постоянен, освен ако върху него не действа външен въртящ момент.
7. Как въртенето на фигурист е свързано с ъгловия момент?
   Отговор: Когато фигуристът приближи ръцете и краката си до тялото си по време на завъртане, той намалява момента на инерция, което го кара да се върти по-бързо. Това демонстрира запазването на ъгловия момент.
8. Каква е връзката между въртящия момент и ъгловия момент?
   Отговор: Въртящ момент ($\tau$) е скоростта на промяна на ъгловия момент. Математически, τ=dл/сек​.
9. Възможно ли е даден обект да има ъглов момент без ъглова скорост?
   Отговор: Не, ако даден обект има ъглов момент, той има и ъглова скорост. Големината и посоката на ъгловия момент зависят както от момента на инерция, така и от ъгловата скорост.
10. Как моментът на инерция влияе на ъгловия момент?
    Отговор: Ъгловият момент (L) е произведението на момента на инерция (I) и ъгловата скорост (ω). САЩ $L=I\omega$, увеличаването на момента на инерция за дадена ъглова скорост ще увеличи ъгловия момент.
11. Каква е разликата между спиновия и орбиталния ъглов момент в квантовата механика?
    Отговор: Спиновият ъглов момент е присъщо свойство на частиците, подобно на електроните, и не възниква от движението им в пространството. Орбиталният ъглов момент, от друга страна, възниква от движението на частица около централна точка.
12. Каква роля играе ъгловият момент във формирането на планетарните системи?
    Отговор: Докато молекулярен облак се свива, за да образува звезди и планети, запазването на ъгловия момент кара материала да се сплеска в диск около новородената звезда, от който могат да се образуват планети.
13. Как жироскопът поддържа ориентацията си в пространството?
    Отговор: Въртящият се жироскоп има ъглов момент. Когато външен въртящ момент се опита да промени ориентацията му, жироскопът прецесира или променя оста си на въртене в посока, перпендикулярна на приложения въртящ момент, поради запазването на ъгловия момент.
14. Какво причинява прецесията във въртящ се пумпал?
    Отговор: Прецесията във въртящ се пумпал се причинява от въртящия момент, дължащ се на гравитацията, действащ върху центъра на масата на пумпала, който е изместен спрямо точката му на въртене. Този въртящ момент води до промяна в посоката на ъгловия момент на пумпала, причинявайки неговата прецесия.
15. Защо звездите се сплескват на полюсите си?
    Отговор: Докато звездите се въртят, те изпитват центробежна сила, която изтласква материята навън. Този ефект е по-силен на екватора, отколкото на полюсите, което води до сплескана или сплескана форма.
16. Как е свързан ъгловият момент с втория закон на Кеплер?
    Отговор: Вторият закон на Кеплер гласи, че отсечка, свързваща планета и Слънцето, обхваща равни площи за равни интервали от време. Това е следствие от запазването на ъгловия момент.
17. Защо котката винаги се приземява на краката си, когато падне?
    Отговор: Котките използват закона за запазване на ъгловия момент. Чрез усукване на телата си и промяна на моментите си на инерция във въздуха, те могат да се преориентират, за да кацнат на краката си, без да нарушават законите за запазване.
18. Как е свързан магнитният момент с ъгловия момент в електроните?
    Отговор: Магнитният момент на електрона произтича от неговия спин и орбитален ъглов момент. Магнитният момент е пропорционален на ъгловия момент на електрона.
19. Какво е ъгловият момент по отношение на полярните координати?
    Отговор: В полярни координати, ъглов момент $L$ за точкова маса може да се изрази като $L=mrv$, Където $m$ е масата, $r$ е радиалното разстояние, и $v$ е тангенциалната скорост.
20. Какво се случва с ъгловия момент на затворена система, когато два обекта се сблъскат?
    Отговор: В затворена система, където два обекта се сблъскват, общият ъглов момент преди сблъсъка е равен на общия ъглов момент след сблъсъка, ако се приеме, че върху системата не действат външни въртящи моменти.

Проблеми и решения

1. Задача: Точка с маса m = 2 kg се движи със скорост v = 3 m/s в окръжност с радиус r = 4 m. Изчислете нейния ъглов момент около центъра на окръжността.

Решение: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m² ^/ s

2. Задача: Твърда сфера с маса 3 kg и радиус 0.5 m се върти около диаметъра си с ъглова скорост ω = 2 rad/s. Какъв е нейният ъглов момент?

Решение: ^За твърда сфера, I = 2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Задача: Точка с маса 3 kg се движи със скорост 4 m/s по права линия. Какъв е нейният ъглов момент около точка, отдалечена на 5 m от линията ѝ на движение?

Решение:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 кг.м² ^/ с

4. Задача: Диск с маса 5 kg и радиус 3 m се върти с ъглова скорост 2 rad/s. Изчислете неговия ъглов момент.

Решение: ^За диск, I = 1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Задача: Пръчка с дължина 4 m и маса 2 kg се върти около единия си край с ъглова скорост 3 rad/s. Намерете нейния ъглов момент.

Решение: За пръчка с дължина около единия край, I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Задача: Каква е промяната в ъгловия момент, ако въртящо се тяло удвои ъгловата си скорост?

Решение: Връзката между ъгловия момент (L) и ъгловата скорост (ω) е $L=I\times \omega$ . Ако ω се удвои, ъгловият момент също ще се удвои.

7. Проблем: Ако радиусът на кръговата траектория на движеща се частица се удвои, като същевременно скоростта се запазва постоянна, с какъв коефициент се променя ъгловият момент?

Решение: Ъглов момент, $L=m\times r\times v$ . Ако r се удвои, L също ще се удвои.

8. Задача: Дете с маса 30 кг стои на ръба на въртележка, която е в покой. Радиусът на въртележката е 2 м. Ако детето започне да тича със скорост 2 м/с спрямо земята по ръба, определете ъгловия момент на детето спрямо центъра.

Решение: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m² ^/ s

9. Задача: Цилиндър с маса 6 kg и радиус 2 m се върти около централната си ос с ъглова скорост 5 rad/s. Изчислете неговия ъглов момент.

Решение: ^За цилиндър, I = 1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2² ^× 5=120 kg.m² ^/ s

10. Задача: Какъв ще бъде новият ъглов момент на тялото, ако моментът му на инерция се намали наполовина, а ъгловата му скорост се утрои?

Решение: Дадено е $L=I\times \omega$ , ако $I$ се намали наполовина и $\omega$ се утрои, новото $L$ ще бъде 1/2×3=1.5 × оригиналното.

11. Задача: Обръч с маса 2 кг и радиус 1 м се върти с ъглова скорост 4 рад/с. Изчислете неговия ъглов момент.

Решение: За обръч, I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg.m² ^/ s

12. Задача: Вентилатор има лопатки с дължина 0.5 м и обща маса 1 кг. Ако се върти с ъглова скорост 10 rad/s, определете ъгловия му момент.

Решение: Ако приемем, че лопатките на вентилатора са като пръти, въртящи се около единия край, I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5² ^× 10=0.833 kg.m² ^/ s

13. Задача: Изчислете ъгловия момент на Земята около собствената ѝ ос, дължащ се на въртенето ѝ. Дадено е: Маса на Земята = ^5.972 × ^10²⁴ kg , Радиус $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻⁶\text{rad/s}$.

Решение: Ако приемем ^, че Земята е твърда сфера, I = 2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Задача: Дете се движи към центъра на въртяща се платформа. Ъгловият момент увеличава ли се, намалява ли се или остава същият?

Решение: Ъгловият момент се запазва. С придвижването на детето към центъра, моментът на инерция намалява. За да се запази ъгловият момент, ъгловата скорост се увеличава. По този начин ъгловият момент остава същият.

15. Задача: Ако кинетичната енергия на въртящо се тяло се удвои, с колко коефициент се променя ъгловият му момент?

Решение: Кинетична енергия K = 1/2 ​I ω ² и ъглов момент $L=I\omega$ . Ако кинетичната енергия се удвои и $I$ остане постоянно, ω ² се удвоява. Това означава, че $\omega$ се увеличава с коефициент √ 2 ​.$Следователно,\; L$ също се увеличава с коефициент √ 2 ​.

16. Задача: Велосипедно колело с радиус 0.3 м има джанта с маса 1.5 кг. Ако се върти с ъглова скорост 5 рад/с, определете ъгловия му момент.

Решение: Ако приемем, че ръба е обръч, I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 kg.m² ^/ s

L = 1.5 × 0,3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s​

17. Задача: Фигуристка придърпва ръцете си навътре, докато се върти. Какво се случва с ъгловия ѝ момент?

Решение: Ъгловият момент на скейтъра се запазва. Като прибира ръцете си, той намалява момента на инерция и по този начин се върти по-бързо (ъгловата скорост се увеличава), за да запази ъгловия си момент.

18. Задача: Маховик има момент на инерция 0.2 kg.m² ^kg.m² и се върти с ъглова скорост 10 rad/s. Намерете неговия ъглов момент^.

Решение:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² / s^​

19. Задача: Система има нетен външен въртящ момент, равен на нула, който действа върху нея. Какво можете да кажете за нейния ъглов момент?

Решение: Ако нетният външен въртящ момент е нула, тогава съгласно закона за запазване на ъгловия момент, общият ъглов момент на системата остава постоянен.

20. Задача: Точка с маса m = 5 kg се движи със скорост v = 3 m/s перпендикулярно на линията, която я свързва с точка P. Ако разстоянието от точка P е 4 m, определете нейния ъглов момент около точка P.

Решение:

$L=m\times r\times v$ =5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s