Материал за кръстосано умножение с използване на компоненти на единичен вектор
Можем да изчислим векторното произведение директно, ако знаем компонентите на векторите. Процедурата е същата като за скаларното произведение . Първо, умножаваме единичните вектори i , j и k . Векторното произведение между същите единични вектори е нула.
i x i = j x j = k x k = 0
Като се позоваваме на предварително изведеното уравнение за умножение на вектори (A x B = AB грях θ) и антикомутативното свойство на умножението на вектори (A x B = - B x A), тогава получаваме:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Сега изразяваме вектори A и B чрез техните компоненти, разлагаме тяхното произведение и използваме произведението на единичните вектори.
A x В = (Axi + Ayj + Azk) х (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Karena i x i = j x j = k x k = 0 дан i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, така че:
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz S
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx ( -k ) + AyBz ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Ако C = A x B , тогава компонентите на C са следните:
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
