Материал за умножение на точки, използващ компоненти на единичен вектор
Можем да изчислим скаларното произведение директно, ако знаем x, y и z компонентите на векторите A и B (известните вектори).
За да изчислим скаларно произведение по този начин, първо изчисляваме скаларно произведение на единичните вектори, след което изразяваме вектори A и B в техните компоненти, разлагаме произведението и използваме произведението на единичните вектори.
Единичните вектори i , j и k са перпендикулярни един на друг, което улеснява изчисленията. Използвайки полученото по-горе уравнение за скаларно умножение ( AB = AB cos theta ), получаваме:
i. i = j.j = k.k = (1)(1)cos 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1)cos 90 °o = 0
Сега изразяваме вектори A и B чрез техните компоненти, разлагаме тяхното произведение и използваме произведението на единичните вектори.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Karena i . i = j . j = k . k = 1 и i . j = i . k = j . k = 0, тогава:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz S +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz S +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz S
A. B = A x B x ( 1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Въз основа на резултатите от това изчисление може да се заключи, че скаларното произведение или скаларното произведение на два вектора е сумата от произведенията на техните подобни компоненти.
Примерен въпрос 1:
Голям вектор A дан B съответно са 5 и 4, както е показано на изображението по-долу. Образуваният ъгъл е 90oПреброй го скаларно произведение и двата вектора.
Дискусия
Преди да изчислим скаларното произведение на векторите A и B, първо трябва да знаем компонентите на втория вектор.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Вектор A има само векторни компоненти по оста x, а вектор B има само векторни компоненти по оста y. Z-компонентата е нула, защото векторите A и B са в равнината xy.
Сега изчисляваме скаларното произведение между вектори A и B, използвайки уравнението за скаларно произведение с компонентни вектори:
A. Б = Аx Bx + AyBy + AzBz
А. Б = (5) (0) + (0) (4) + 0
А. Б = 0 + 0 + 0
А. Б = 0
Нека го сравним с първия метод
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Резултатът е същият.
Примерен въпрос 2:
Голям вектор A дан B са съответно 5 и 4, както е показано на картинката по-долу. Изчислете скаларно произведение и двата вектора, ако образуваният от тях ъгъл е 30o
Дискусия
Преди да изчислим скаларното произведение на векторите A и B, първо трябва да знаем компонентите на втория вектор.
Z-компонентата е нула, защото векторите A и B са в xy равнината.
Сега изчисляваме скаларното произведение между вектори A и B, използвайки уравнението за скаларно произведение с компонентни вектори:
Сравнете с първия метод.
