Матэрыял па ўраўненні непарыўнасці
Паспрабуйце павольна адкрыць кран, назіраючы за патокам вады, якая выцякае з крана. Як толькі кран перастане круціцца, часткова перакрыйце яго рукой. Цяпер параўнайце, які паток вады большы. Калі часткова перакрыты ці не перакрыты? Калі ў вас ёсць шланг, які звычайна выкарыстоўваецца для паліву кветак, дайце вадзе працякаць праз яго. Часткова перакрыйце шланг рукой або пальцам. Чым большая частка шланга перакрыта, тым хутчэй будзе выцякаць вада. І наадварот, калі шланг не перакрыты, вада будзе цячы павольней. Чаму гэта так? Каб зразумець гэта, вывучыце ўраўненне непарыўнасці.
Лініі току і расходныя трубкі
Спачатку давайце разбярэмся з паняццямі ліній току і праточных трубак. Гэта паняцце важнае, таму што яно дапаможа вам зразумець ураўненне непарыўнасці.
Лінія патоку
Паглядзіце на малюнак ніжэй, сіняя лінія — гэта лінія току.
Пры стацыянарным патоку хуткасць кожнай часціцы вадкасці ў пункце, напрыклад, пункце А, застаецца пастаяннай. Па меры праходжання пункта В хуткасць часціц вадкасці можа змяняцца. Аднак, прыбыўшы ў пункт В, часціцы вадкасці, якія ідуць за імі, працягваюць цячы з той жа хуткасцю, што і часціцы вадкасці, якія ішлі перад імі. Тое ж самае тычыцца і прыбыцця ў пункт С і гэтак далей. Лінія току — гэта крывая, якая злучае пункты А, В і С.
Праточная трубка
Па сутнасці, мы можам правесці кожную лінію току праз кожную кропку патоку вадкасці. Калі мы разгледзім стацыянарны паток вадкасці, то шэраг ліній току, якія праходзяць пад пэўным вуглом на ўяўнай плошчы паверхні (уяўнай плошчы паверхні), утвараюць праточную трубку. Часцінкі вадкасці не перасякаюцца адна з адной, а заўсёды паралельныя, і праточная трубка будзе нагадваць трубу, якая заўсёды мае адну і тую ж форму. Вадкасць, якая паступае з аднаго канца трубкі, будзе выходзіць з трубкі з другога канца.
Дэбет
Расход паказвае аб'ём вадкасці, якая працякае праз пэўнае папярочнае сячэнне за пэўны прамежак часу. Матэматычна яго можна выразіць наступным чынам:
Каб лепш зразумець, давайце разгледзім прыклад. Дапусцім, што вадкасць цячэ па трубе. Трубы звычайна цыліндрычныя і маюць пэўную плошчу папярочнага сячэння. Труба таксама мае даўжыню.
Калі вадкасць цячэ ў трубе да адзнакі L, то аб'ём вадкасці ў трубе складае V = AL (V = аб'ём вадкасці, A = плошча папярочнага сячэння і L = даўжыня трубы). Паколькі падчас патоку ў трубе ўздоўж L вадкасць праходзіць пэўны інтэрвал часу, то можна сказаць, што велічыня выкіду вадкасці роўная:
Паколькі v = s/t = L/t —> L = vt, прыведзенае вышэй ураўненне змяняецца на:
Такім чынам, калі вадкасць цячэ праз трубу, якая мае пэўную плошчу папярочнага сячэння і даўжыню на працягу пэўнага прамежку часу, велічыня расходу вадкасці (Q) роўная плошчы паверхні папярочнага сячэння (A), памножанай на хуткасць патоку вадкасці (v).
Ураўненне непарыўнасці
Разгледзім паток вадкасці ў трубе рознага дыяметра, як паказана на малюнку ніжэй.
На гэтым малюнку паказаны паток вадкасці злева направа (вадкасць цячэ з трубы вялікага дыяметра ў трубу малога дыяметра). Пункцірныя лініі — гэта лініі току.
Подпіс да выявы: A 1 = плошча папярочнага сячэння трубы вялікага дыяметра, A 2 = плошча папярочнага сячэння трубы малога дыяметра, v 1 = хуткасць патоку вадкасці ў трубе вялікага дыяметра, v 2 = хуткасць патоку вадкасці ў трубе малога дыяметра, L = адлегласць, пройдзеная вадкасцю.
Ва ўводзінах да дынамікі вадкасці было тлумачана, што ў дынаміцы вадкасці мы абмяркоўваем патокі несціскальных, нявязкіх, нетурбулентных і ўстойлівых вадкасцей. Пры ўстойлівым патоку хуткасць часціц вадкасці ў кропцы такая ж, як і хуткасць іншых часціц вадкасці, якія праходзяць праз гэтую кропку. Патокі вадкасці таксама не перасякаюцца (лініі току паралельныя). Такім чынам, маса вадкасці, якая паступае ў адзін канец трубы, павінна быць роўная масе вадкасці, якая выходзіць з другога канца. Калі вадкасць з пэўнай масай паступае ў трубу вялікага дыяметра, то вадкасць будзе выходзіць з трубы малога дыяметра з пастаяннай масай.
Цяпер паглядзіце на малюнак трубы вышэй. Звярніце ўвагу на частку трубы з вялікім дыяметрам і частку трубы з малым дыяметрам.
На працягу пэўнага прамежку часу праз участак трубы вялікага дыяметра (А) працякае пэўная колькасць вадкасці.1) да L1 (L1 = v1 t). Аб'ём вадкасці, якая працякае, роўны V1 = A1 L1 = A1 v1 т. За той жа прамежак часу праз участак трубы меншага дыяметра (А) працякае іншая колькасць вадкасці.2) да L2 (L2 = v2 t). Аб'ём вадкасці, якая працякае, роўны V2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Ураўненне непарыўнасці для несціскальных вадкасцей (несціскальныя)
Спачатку разгледзім выпадак несціскальнай вадкасці. У несціскальнай вадкасці шчыльнасць, або маса, вадкасці заўсёды аднолькавая ў кожнай кропцы, праз якую яна праходзіць. Маса вадкасці, якая працякае ў трубе з плошчай папярочнага сячэння A1 ( большы дыяметр трубы) на працягу пэўнага інтэрвалу часу, роўная:
Аналагічна, маса вадкасці, якая працякае ў трубе з плошчай папярочнага сячэння A² ( малы дыяметр трубы) на працягу пэўнага прамежку часу, складае:
Улічваючы, што пры стацыянарным патоку маса вадкасці, якая ўваходзіць, такая ж, як і маса вадкасці, якая выходзіць, то:
м1 = м2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (шчыльнасць вадкасці і інтэрвал часу аднолькавыя, таму яны кампенсуюцца)
А 1 супраць 1 = А 2 супраць 2
Такім чынам, у несціскальных вадкасцях прымяняецца ўраўненне непарыўнасці:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Раўнанне 1
інфармацыя:
A 1 = плошча папярочнага сячэння 1, A 2 = плошча папярочнага сячэння 2, v 1 = хуткасць патоку вадкасці ў папярочным сячэнні 1, v 2 = хуткасць патоку вадкасці ў папярочным сячэнні 2, A v = аб'ёмны расход V/т, г.зн. расход
З раўнання 1 вынікае, што аб'ёмны расход, таксама вядомы як расход, заўсёды аднолькавы ў кожнай кропцы трубы або расходнай трубкі. Па меры памяншэння папярочнага сячэння трубы расход вадкасці павялічваецца; і наадварот, па меры павелічэння папярочнага сячэння трубы расход вадкасці памяншаецца.
Калі мы часткова закрываем кран, паток вады становіцца хутчэйшым, чым калі кран часткова зачынены. Гэта адбываецца таму, што плошча папярочнага сячэння крана памяншаецца, калі кран часткова зачынены, што павялічвае хуткасць патоку вады (вадкасць цячэ хутчэй). Тое ж самае тычыцца і шлангаў. Аднак важна адзначыць, што аб'ёмны расход застаецца аднолькавым ва ўсіх кропках патоку вады, незалежна ад таго, часткова зачынены кран ці не. Такім чынам, змяняецца хуткасць патоку вадкасці.
Дык што ж наконт патоку вады ў рацэ? Глыбейшыя ўчасткі ракі маюць большы папярочны сячэнне, чым больш дробныя, таму хуткасць патоку вады ў глыбейшых участках ніжэйшая, чым у больш дробных. Калі вы бачыце вельмі спакойную плынь ракі, гэта азначае, што рака глыбокая. Але калі рака раптам становіцца хуткай, гэты ўчастак, безумоўна, дробны. Аднак хуткасць аб'ёмнага патоку вады заўсёды аднолькавая, незалежна ад таго, ці ў глыбокіх, ці ў спакойных участках ракі.
Ураўненне непарыўнасці для сціскальных вадкасцей (сціскальны)
У выпадку сціскальных вадкасцей шчыльнасць вадкасці не заўсёды аднолькавая. Іншымі словамі, шчыльнасць вадкасці змяняецца пры сцісканні. У той час як у несціскальных вадкасцях шчыльнасць вадкасці выключаецца з ураўнення , у гэтым выпадку шчыльнасць вадкасці ўсё яшчэ ўключана. Звяртаючыся да раней атрыманага ўраўнення, вывядзем ураўненне для сціскальных вадкасцей.
Улічваючы, што пры стацыянарным патоку маса вадкасці, якая ўваходзіць, такая ж, як і маса вадкасці, якая выходзіць, то:
м1 = м2
ρA1v1t = ρA2v2t
Інтэрвал часу патоку вадкасці аднолькавы, таму яго можна выключыць. Раўнанне змяняецца на:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Ураўненне 2
Гэта ўраўненне для сціскальнай вадкасці. Адзінае адрозненне заключаецца ў шчыльнасці вадкасці. Калі вадкасць сціскаецца, яе шчыльнасць змяняецца. І наадварот, калі вадкасць несціскальная, яе шчыльнасць застаецца пастаяннай і можа быць кампенсавана.
Прыклад пытання 1:
Вада цячэ па трубе дыяметрам 10 см з хуткасцю 2 м/с. Які расход вады?
Абмеркаванне
Вядома, што:
Дыяметр трубы = 10 см (гэта ўнутраны дыяметр трубы)
Радыус трубы (r) = 5 см = 0,05 м
v вады = 2 м/с
Пытанне: Дэбет
Адказ:
Q = A v
Q = (πr² ) (2 м/с)
Q = (3,14)(0,05 м) ² (2 м/с)
Q = (3,14)(0,0025 м² ) (2 м/с)
Q = 0,0157 м³ / с
Прыклад пытання 2:
Вадаправодная труба дыяметрам 20 см падключана да іншай трубы дыяметрам 10 см. Калі хуткасць патоку вады ў трубе дыяметрам 20 см = 4 м/с, якая хуткасць патоку вады ў трубе дыяметрам 10 см?
Абмеркаванне
Вядома, што:
Дыяметр 1 = 20 см (r 1 = 10 см = 0,1 м)
v1 = 4 м/ с
Дыяметр 2 = 10 см (r 2 = 5 см = 0,05 м)
Пытанне зададзена: версія 1
Адказ:
Q1 = Q2
А 1 супраць 1 = А 2 супраць 2
( π r 12 ) (4 м/с) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 м) 2 (4 м/с) = (0,05 м) 2 (v 2 )
(0,01 м² ) (4 м/с) = (0,0025 м² ) ( v² )
(0,04 м³ / с) = (0,0025 м² ) ( v² )
v2 = 16 м/ с
