Прынцып і ўраўненне Бернулі

Прынцып і ўраўненне Бернулі

KКалі мы едзем на матацыкле даволі хутка, наша адзенне ўздымаецца ззаду. Калі вы яшчэ не ўмееце ездзіць на матацыкле, звярніце ўвагу на сваіх бацькоў ці сяброў, якія ездзяць на матацыклах. Звычайна ў іх адзенне ўздымаецца ззаду, калі матацыкл едзе хутка. Часам, калі дзьме моцны вецер, дзверы дома могуць самі па сабе зачыніцца. Нават калі вецер дзьме звонку дома, дзверы знаходзяцца ўнутры.

Гэта можна растлумачыць з дапамогай прынцыпу Бернулі. Даніэль Бернулі (1700–1782) адкрыў прынцып, які можна выкарыстоўваць для тлумачэння некаторыя з вышэйпералічаных.

Прынцып Бернулі

Прынцып Бернулі сцвярджае, што там, дзе хуткасць патоку вадкасці высокая, ціск вадкасці нізкі. І наадварот, калі хуткасць патоку вадкасці нізкая, ціск становіцца высокім. Калі матацыкл рухаецца хутка, хуткасць паветра перад і побач з вашым целам высокая. Такім чынам, ціск паветра становіцца нізкім. Задняя частка вашага цела блакуецца пярэдняй часткай вашага цела, таму хуткасць паветра за вашым целам не змяняецца на высокую (адразу за вашым целам). У выніку ціск паветра за вашым целам становіцца большым. Паколькі існуе розніца ў ціску паветра, дзе ціск паветра непасрэдна за вашым целам большы, паветра адціскае вашу кашулю назад, ствараючы ўражанне, што яна раздзімаецца ззаду.

А як наконт дзвярэй, якія зачыняюцца самі па сабе, калі звонку дзьме моцны вецер? Паветра звонку рухаецца хутчэй, чым паветра ўнутры. У выніку ціск паветра звонку ніжэйшы, чым ціск паветра ўнутры. З-за гэтай розніцы ціскаў, калі ціск паветра ўнутры вышэйшы, дзверы выштурхоўваюцца вонкі. Іншымі словамі, дзверы рухаюцца з месца больш высокага ціску паветра ў месца з больш нізкім ціскам паветра.

Ураўненне Бернулі

Раней мы вывучалі прынцып Бернулі. Бернулі таксама колькасна развіў гэты прынцып. Каб вывесці ўраўненне Бернулі, мы мяркуем стацыянарны, ламінарны паток вадкасці, несціскальнасць і нізкую глейкасць, якімі можна занядбаць.

Пры абмеркаванні ўраўнення непарыўнасці мы даведаліся, што хуткасць патоку вадкасці таксама можа змяняцца ў залежнасці ад плошчы папярочнага сячэння расходнай трубкі. Згодна з прынцыпам Бернулі, растлумачаным вышэй, ціск вадкасці таксама можа змяняцца ў залежнасці ад хуткасці патоку вадкасці. Ціск вадкасці таксама можа змяняцца ў залежнасці ад вышыні вадкасці. Сувязь паміж ціскам, хуткасцю патоку і вышынёй патоку можна атрымаць з ураўнення Бернулі.

Ураўненне Бернулі вельмі важнае, таму што яго можна выкарыстоўваць для аналізу палётаў самалётаў, гідраэлектрастанцый, трубаправодных сістэм і г.д. Каб ураўненне Бернулі, якое мы выведзем, было агульным, мы будзем лічыць, што вадкасць цячэ праз праточную трубку з няроўнымі плошчамі папярочнага сячэння, а таксама рознай вышынёй (гл. малюнак ніжэй). Каб вывесці ўраўненне Бернулі, мы ўжыем тэарэму аб працы і энергіі да вадкасці ў вобласці праточнай трубкі. Далей мы разлічым колькасць вадкасці і працу, выкананую для яе перамяшчэння.

Непразрысты колер у расходнай трубцы на малюнку паказвае на паток вадкасці, а белы колер — на адсутнасць вадкасці.

Вадкасць у папярочным сячэнні 1 (злева) працякае на адлегласць L₁ і прымушае вадкасць у папярочным сячэнні 2 (правы бок) рухацца на адлегласць L₂Паколькі плошча папярочнага сячэння 2 справа меншая, хуткасць патоку вадкасці з правага боку расходнай трубкі большая (памятайце пра ўраўненне непарыўнасці). Гэта выклікае розніцу ціскаў паміж папярочным сячэннем 2 (правы бок расходнай трубкі) і папярочным сячэннем 1 (левы бок расходнай трубкі) – памятайце пра прынцып Бернулі. Вадкасць злева ад папярочнага сячэння 1 аказвае ціск P.₁ на вадкасці справа і выконвае працу:

Тады ўраўненне W₁ можна запісаць як:

W₁ = р₁ A₁ L₁

У папярочным сячэнні 2 (правы бок расходнай трубкі) работа, выкананая над вадкасцю, складае:

W₂ = − p₂ A₂ L₂

Адмоўны знак паказвае, што прыкладзеная сіла накіравана супрацьлегла кірунку руху. Такім чынам, вадкасць выконвае працу справа ад сячэння 2. Акрамя таго, сіла цяжару таксама выконвае працу над вадкасцю. У вышэйзгаданым выпадку пэўная маса вадкасці зрушваецца з сячэння 1 на адлегласць L.₁ перасекчы сячэнне 2 да L₂, дзе аб'ём вадкасці ў папярочным сячэнні 1 (A₁ L₁) = аб'ём вадкасці ў папярочным сячэнні 2 (A₂ L₂). Работа, якую выконвае сіла цяжару, складае:

W₃ = − мг (г₂ - г₁)

W₃ = − мг/г₂ + мг₁)

W₃ = мг₁ - мг₂

Адмоўны знак абумоўлены тым, што вадкасць цячэ ўверх, супрацьлегла кірунку сілы цяжару. Такім чынам, агульная праца, выкананая над вадкасцю, як паказана на малюнку вышэй, складае:

Ш = Ш₁ + Ш₂ + Ш₃

W = P₁ A₁ L₁ - П₂ A₂ L₂ + мг₁ - мг₂

Тэарэма аб рабоце і энергіі сцвярджае, што агульная праца, выкананая над сістэмай, роўная змене яе кінетычнай энергіі. Такім чынам, мы можам замяніць працу (Вт) змяненнем кінетычнай энергіі (EK).₂ ‐ EK₁).

Мы можам перапісаць прыведзенае вышэй ураўненне наступным чынам:

W = P₁ A₁ L₁ - П₂ A₂ L₂ + мг₁ - мг₂

EK₂ ‐ EK₁ = Р₁ A₁ L₁ - П₂ A₂ L₂ + мг₁ - мг₂

1⁄2 мВ₂² – 1⁄2 мВ₁² = Р₁ A₁ L₁ - П₂ A₂ L₂ + мг₁ - мг₂

Маса вадкасці, якая працякае на адлегласць L₁ на папярочным сячэнні А₁ = маса вадкасці, якая працякае на адлегласць L₂ (папярочны перасек А₂). Пэўная маса вадкасці, скажам, m, мае аб'ём A.₁L₁ і А₂ L₂ дзе А₁ L₁ = A₂ L₂ (L₂ даўжэйшы за L₁).

Цяпер падстаўляем, або замяняем m у прыведзеным вышэй раўнанні на m = ρ AL:

Гэта ўраўненне Бернулі. Мы вывелі ўраўненне Бернулі на аснове прынцыпу залежнасці працы ад энергіі, таму яно з'яўляецца формай закона захавання энергіі.

інфармацыя:

P = Ціск

ρ = Шчыльнасць вадкасці

v = Хуткасць патоку вадкасці

g = Паскарэнне сілы цяжару

h = Вышыня расходомернай трубкі/трубы ад паверхні зямлі

Левая і правая часткі ўраўнення Бернулі вышэй могуць адносіцца да любых двух кропак уздоўж расходнай трубкі, таму мы можам перапісаць прыведзенае вышэй ураўненне наступным чынам:

Гэтае ўраўненне сцвярджае, што агульная сума велічынь у ўраўненні мае аднолькавае значэнне па ўсёй расходнай трубцы.

Цяпер давайце разгледзім ураўненне Бернулі для некаторых выпадкаў.

Ураўненне Бернулі для вадкасцей у стане спакою

Асобны выпадак ураўнення Бернулі — гэта вадкасці ў стане спакою (статычныя вадкасці). Калі вадкасць знаходзіцца ў стане спакою, яна не мае хуткасці. Такім чынам, v₁ = v₂ = 0. У выпадку нерухомай вадкасці можна сфармуляваць ураўненне Бернулі наступным чынам:

Калі h₂ - г₁ = h, то гэтае ўраўненне можна запісаць наступным чынам:

p₁ - п₂ = ρ g (h₂ - г₁)

p₁ - п₂ = ρ gh

Ураўненне Бернулі для праточных трубак або труб аднолькавай вышыні

Калі вышыня расходнай трубкі або трубы аднолькавая, то ўраўненне Бернулі змяняецца на: