Mövqe Vektorlarını Müzakirə Edən Məsələlərə Nümunə
Vektorlar riyaziyyat və fizikada həm istiqamət, həm də böyüklük ilə kəmiyyətləri təmsil edən fundamental bir anlayışdır. Müxtəlif tətbiqlərdə vektorlar tez-tez mövqe, sürət, qüvvə və bir çox digər parametrləri təsvir etmək üçün istifadə olunur. Müxtəlif növ vektorlar arasında mövqe vektorları fəzada bir nöqtənin yerini xəritələşdirməkdə mühüm rol oynayır.
Mövqe Vektorunun Tərifi
Mövqe vektoru, koordinat sistemində nöqtənin başlanğıc nöqtəsinə nisbətən yerini təsvir edən vektordur. Ümumiyyətlə, mövqe vektoru Dekart koordinat formasında aşağıdakı kimi yazılır:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
Burada \(\mathbf{r}\) mövqe vektoru, \(x\), \(y\) və \(z\) müvafiq olaraq \(x\), \(y\) və \(z\) oxları boyunca onun komponentləridir, \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) və \(\mathbf{k}\) isə müvafiq olaraq koordinat oxlarına paralel olan vahid vektorlardır. İkiölçülü fəzada \(z\) komponenti ümumiyyətlə mövcud deyil, buna görə də mövqe vektoru aşağıdakı kimi olur:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
Mövqe Vektoru Tətbiqləri
Məsələn, fizikada mövqe vektorları cisimlərin hərəkətini təsvir etməkdə mühüm rol oynayır. Bir cismin mənşəyə (istinad nöqtəsinə) nisbətən mövqeyi mövqe vektoru ilə təmsil oluna bilər. Bundan əlavə, maşınqayırmada qüvvələrin və momentlərin hesablanması çox vaxt mövqe vektorlarının istifadəsini əhatə edir.
Nümunə Suallar və Mövqe Vektorlarının Müzakirələri
Sual 1
Tutaq ki, 3D fəzada iki nöqtə var: koordinatları \( (1, 2, 3) \) olan A nöqtəsi və koordinatları \( (4, 0, -2) \) olan B nöqtəsi. A və B nöqtələrinin mövqe vektorlarını təyin edin. Bundan əlavə, A nöqtəsini B nöqtəsinə birləşdirən vektoru hesablayın.
Müzakirə:
A nöqtəsi üçün mövqe vektoru:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
B nöqtəsi üçün mövqe vektoru:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
Növbəti olaraq, A nöqtəsini B nöqtəsinə bağlayan vektoru (\(\mathbf{AB}\) adlanır) tapmaq üçün A nöqtəsinin mövqe vektorunu B nöqtəsinin mövqe vektorundan çıxmalıyıq:
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
Beləliklə, yuxarıdakı iki mövqe vektorunu əvəz edərək:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
Beləliklə, A nöqtəsini B nöqtəsinə birləşdirən vektor \( 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \)-dir.
Sual 2
Əgər P nöqtəsi 2D müstəvisində \((2, 3)\) üzərindədirsə, \(\mathbf{r_P}\) mövqe vektorunun uzunluğunu (normasını) tapın.
Müzakirə:
P nöqtəsinin mövqe vektoru:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
Mövqe vektorunun uzunluğu \(\mathbf{r_P}\) vektor norması (və ya uzunluq) düsturu ilə hesablana bilər:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
\(x\) və \(y\\ dəyərlərini əvəz edin:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
Beləliklə, \(\mathbf{r_P}\) mövqe vektorunun uzunluğu \(\sqrt{13}\)-dir.
Sual 3
Tutaq ki, Q nöqtəsi \( (5, -4, 2) \) nöqtəsində yerləşir. \(\mathbf{r_Q}\) mövqe vektoru ilə \(x\) oxu arasındakı bucağı tapın.
Müzakirə:
Q nöqtəsinin mövqe vektoru:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
\(\mathbf{r_Q}\) vektoru ilə \(x\) oxu arasındakı bucağı tapmaq üçün nöqtə hasili anlayışından istifadə edə bilərik. Əvvəlcə \(\mathbf{r_Q}\) və \(\mathbf{i}\ arasındakı nöqtə hasilini təyin edirik:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
\(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\) və \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\) olduğundan, onda:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
\(\mathbf{r_Q}\) norması:
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
\(\mathbf{i}\) tənliyinin norması 1-dir, çünki \(\mathbf{i}\) vahid vektordur.
Nöqtə hasili düsturundan istifadə edərək \(\theta\) bucağını tapın:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Beləliklə, mövqe vektoru \(\mathbf{r_Q}\) ilə \(x\) oxu arasındakı \(\theta\) bucaq belədir:
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
Nəticə
Mövqe vektorları elm və mühəndislikdə, xüsusən də koordinat fəzasında obyektlərin mövqeyinin xəritələşdirilməsində mühüm rol oynayır. Yuxarıdakı nümunələr mövqe vektorlarının, onların uzunluqlarının və onlarla koordinat oxları arasındakı bucaqların necə hesablanacağını göstərir. Bu fundamental anlayışları anlamaq riyaziyyat və fizikada fəza və koordinatlarla bağlı müxtəlif problemlərin həllində əvəzsizdir.
