Tərs Vektorları Müzakirə Edən Məsələlərə Nümunə
Vektor həm böyüklüyünə, həm də istiqamətinə malik olan riyazi bir obyektdir. Vektorların öyrənilməsində tez-tez müəyyən xüsusiyyətlərə malik vektorlarla qarşılaşırıq. Vektorlardakı əsas anlayışlardan biri tərs vektor və ya mənfi vektordur. Bu məqalədə tərs vektorların nümunələri və müzakirəsi əhatə olunacaq.
Tərs Vektorları Anlamaq
Tərs vektor, tez-tez mənfi vektor adlanır, orijinal vektorla eyni böyüklüyə, lakin əks istiqamətə malik olan bir vektordur. Əgər bir vektor \(\vec{a}\) ilə işarələnirsə, onda onun tərs vektoru \(-\vec{a}\)-dir. Riyazi olaraq, əgər \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), onda \(-\vec{a} = (-a_1, -a_2, -a_3)\).
Nümunə Sual 1
\(\vec{a} = (3, 4, -2)\ vektoru verilmişdir. \(\vec{a}\)-nin tərs vektorunu təyin edin.
Müzakirə:
\(\vec{a}\)-nin tərs vektorunu təyin etmək üçün sadəcə onun hər bir vektor komponentini mənfiyə çevirməliyik:
\[
-\vec{a} = (-3, -4, 2)
\]
Beləliklə, \(\vec{a} = (3, 4, -2)\)-nin tərs vektoru \(-\vec{a} = (-3, -4, 2)\)-dir.
Nümunə Sual 2
Tutaq ki, vektor \(\vec{b} = (7, -5, 0)\). \(\vec{b}\)-nin tərs vektorunu tapın və \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\) olduğunu yoxlayın.
Müzakirə:
Əvvəlcə, \(\vec{b}\)-nin tərs vektorunu təyin edirik:
\[
-\vec{b} = (-7, 5, 0)
\]
Daha sonra, \(\vec{b}\) vektorunun və onun tərs vektorunun toplanması nəticəsində sıfır vektorunun əmələ gəldiyini yoxlayırıq:
\[
\vec{b} + (-\vec{b}) = (7, -5, 0) + (-7, 5, 0)
\]
Vektorun komponentlərini toplayırıq:
\[
(7 – 7, -5 + 5, 0 + 0) = (0, 0, 0)
\]
Beləliklə, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\), \(\vec{b}\) vektorunun və onun tərs vektorunun toplanması nəticəsində alınan nəticənin sıfır vektor olduğu sübut edilmişdir.
Nümunə Sual 3
\(\vec{u} = (2, -1)\) və \(\vec{v} = (-2, 1)\) vektorları verilmişdir. \(\vec{u}\) \(\vec{v}\)-nin tərs vektorudurmu?
Müzakirə:
\(\vec{u}\) və \(\vec{v}\) tərs vektorlar olub olmadığını müəyyən etmək üçün \(\vec{v} = -\vec{u}\) olub olmadığını yoxlamalıyıq.
\(-\vec{u}\) hesablayın:
\[
-\vec{u} = (-2, 1)
\]
Məlum olur ki, \(-\vec{u} = \vec{v}\), bu o deməkdir ki, \(\vec{u}\) vektoru həqiqətən də \(\vec{v}\) vektorunun tərs vektorudur.
Nümunə Sual 4
Əgər \(\vec{w}\) vektorunun 5 böyüklüyü və \(\vec{p} = (4, 3)\ vektoruna əks istiqamətdə olduğu məlumdursa, \(\vec{w}\)-ni komponent şəklində təyin edin.
Müzakirə:
Əvvəlcə, \(\vec{p}\) vektorunun böyüklüyünü tapırıq:
\[
|\vec{p}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\(\vec{w}\) 'nin böyüklüyü \(\vec{p}\) ilə eyni, lakin əks istiqamətdə olduğundan, onda:
\[
\vec{w} = -\vec{p} = (-4, -3)
\]
Beləliklə, komponent şəklində \(\vec{w}\) vektoru \(\vec{w} = (-4, -3)\)-dir.
Nümunə Sual 5
A(2, 3) və B(4, 7) nöqtələri verilmişdir. A nöqtəsindən B nöqtəsinə qədər olan mövqe vektorunu və həmin vektorun əksi olan vektoru təyin edin.
Müzakirə:
A nöqtəsindən B nöqtəsinə vektor yerləşdirin:
\[
\vec{AB} = (B_x – A_x, B_y – A_y) = (4 – 2, 7 – 3) = (2, 4)
\]
\(\vec{AB}\)-in tərs vektoru:
\[
-\vec{AB} = (-2, -4)
\]
Beləliklə, \(\vec{AB} = (2, 4)\) mövqe vektoruna tərs olan vektor \(-\vec{AB} = (-2, -4)\)-dir.
Nümunə Sual 6
\(\vec{m} = (x, y)\) vektoru və \(\vec{m}\)-nin tərs vektoru \( (-5, 12)\)-dir. x və y-nin qiymətlərini təyin edin.
Müzakirə:
\(\vec{m}\)-nin tərs vektoru \( (-x, -y) \)-dir və məsələyə görə, \((-x, -y) = (-5, 12)\)-dir.
Vektor komponentlərini uyğunlaşdıraraq əldə edirik:
\[
-x = -5 \x = 5 deməkdir
\]
\[
-y = 12 \y = -12 deməkdir
\]
Beləliklə, \(x\)-in qiyməti 5, \(y\)-in qiyməti isə -12-dir.
Nəticə
Tərs vektorlar eyni böyüklükdə, lakin əks istiqamətdə olan vektorlardır. Tərs vektorlar anlayışını anlamaqla, vektorlarla əlaqəli müxtəlif məsələləri, məsələn, vektorun mənfi hissəsini təyin etmək, vektorların sıfıra toplanmasının yoxlanılması və s. həll edə bilərik. Yuxarıdakı nümunə məsələlərin müzakirəsinin tərs vektorlarla işləmək haqqında biliklərimizi və anlayışımızı artıracağı gözlənilir.
