Dairələr və Tangensləri Müzakirə Edən Nümunə Suallar
Dairələr matris həndəsəsində vacib bir mövzudur və burada məsafə, bucaqlar və forma haqqında dərin anlayışlar nümayiş etdirilir. Bu mövzuda tez-tez müzakirə olunan anlayışlardan biri də dairəyə toxunan xəttdir. Bu məqalədə dairələr və toxunanlarla bağlı bir neçə nümunə məsələni müzakirə edəcəyik.
Dairələr və Tangenslərin Əsas Anlayışı
Dairə
Dairə, dairənin mərkəzi adlanan verilmiş bir nöqtədən sabit məsafədə olan bir müstəvidəki bütün nöqtələr çoxluğundan əmələ gələn həndəsi formadır. Bu sabit məsafə dairənin radiusu adlanır.
Tangens
Dairəyə toxunan, dairəyə tam bir nöqtədə toxunan bir xəttdir. Bu nöqtə toxunma nöqtəsi adlanır. Tangenslərin bir neçə vacib xüsusiyyəti var, o cümlədən:
– Tangens xətti həmişə toxunma nöqtəsindəki dairənin radiusuna perpendikulyardır.
– Dairənin xaricindəki bir nöqtədən dairəyə qədər olan tangensin uzunluğu, həmin nöqtədən iki tangens çəkildikdə eynidir.
Nümunə Suallar və Müzakirələr
Aşağıda dairələr və tangenslər anlayışını ətraflı müzakirə edən bir neçə nümunə sual təqdim edəcəyik.
Nümunə Sual 1: Tangens Xəttinin Uzunluğunun Tapılması
Sual:
Mərkəzi 10 sm və radiusu 10 sm olan dairə verilmişdir. Dairənin xaricindəki, dairənin mərkəzindən 10 sm məsafədə yerləşən 10 sm nöqtəsindən dairəyə iki tangens 10 sm (PA) və 10 sm (PB) çəkilir. Tangensin uzunluğunu hesablayın.
Müzakirə:
Bu məsələdə Pifaqor teoremindən istifadə edə bilərik. \(\triangle OAP\) üçbucağını çəkin:
– \(OP = 10 \, \text{sm}\) (dairənin xarici nöqtəsindən mərkəzinə qədər olan məsafə)
– \(OA = 6 \, \text{sm}\) (dairənin radiusu)
– \(PA\) tapılmalı olan toxunan xəttdir
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{sm}
\]
Beləliklə, toxunan xəttin uzunluğu \(PA\) 8 sm-dir.
Nümunə Sual 2: Tangensiya Nöqtəsini Tapmaq
Sual:
\((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) tənliyi olan bir dairə və \(y = 2x + 1\) düz xətti verilmişdir. Dairə ilə düz xətt arasındakı toxunma nöqtəsini təyin edin.
Müzakirə:
Əvvəlcə dairənin mərkəzini və radiusunu təyin edirik:
– Mərkəz \(O(3, 4)\)
– Radius \(r = \sqrt{25} = 5\)
Tangensiya nöqtəsini tapmaq üçün, tangensiya nöqtəsinin \(T(x_1, y_1)\) olduğunu və eyni zamanda \(y = 2x + 1\) düz xəttində yerləşdiyini fərz edək. Onda:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) həmçinin dairənin tənliyini təmin etməlidir:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
\(y_1 = 2x_1 + 1\)-ni dairə tənliyinə yerləşdirin:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
İki kvadrat hesablamalıyıq.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Hər iki nəticəni birləşdirin:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Hər iki tərəfdən 25-i çıxın:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Kvadrat tənliyi həll edin:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]
\(y_1\) dəyərini hesablayın:
y = 2x + 1-i təmin edən:
– Əgər \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\) olarsa, onda \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\) olar.
– Əgər \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\) olarsa, onda \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\) olar.
Qiymətləndirmə:
Beləliklə, dairənin tənliyinin həmin xətt ilə kəsişməsində iki nöqtə əldə edirik.
Nümunə Sual 3: Tangens Xəttin Tənliyinin Təyin Edilməsi
Sual:
\((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\) tənliyi ilə dairə verilmişdir. \((6, 7)\) nöqtəsindən keçən dairəyə toxunan xəttin tənliyini təyin edin.
Müzakirə:
Məlum xarici nöqtədən mərkəzi \((h, k)\) və radiusu \(r\) olan bir dairəyə toxunan aşağıdakı tənliklə tapıla bilər:
Tangens xətti \((x_1, y_1)\) xarici nöqtəsindən keçir:
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Xarici nöqtəni \((6, 7)\) ilə əvəz edin:
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Tangens xəttinin tənliyi belədir:
\[
x + y = 9
\]
Beləliklə, dairə xəttinin nöqtəsindən keçən xəttin tənliyinin variasiyası çox böyükdür və nəticədən və ya vizual təsvirdən asılı olaraq dəyişə bilər.
Nəticə
Dairələr və tangenslərin müzakirəsi riyaziyyatın bir neçə fundamental aspektini əhatə edir, Pifaqor teoremi kimi əsas düsturların tətbiqindən tutmuş kvadrat tənliklərin həllinə qədər. Bu nümunələr vasitəsilə bu anlayışların bir qədər mürəkkəb vəziyyətlərdə necə tətbiq olunacağını daha yaxşı başa düşə bilərik. Ümid edirik ki, bu məqalə dairələr və tangenslərlə bağlı məsələlərə necə yanaşmaq və həll etmək barədə aydın bir təsəvvür yaratmağa kömək etmişdir.
