Dairənin Tərifini Müzakirə Edən Nümunə Suallar
Dairə gündəlik həyatda tez-tez rastlaşdığımız əsas həndəsi formalardan biridir. Riyaziyyatda dairələrin özünəməxsus tərifləri və xüsusiyyətləri var. Bu məqalədə dairənin və onunla əlaqəli elementlərin tərifi dərindən araşdırılacaq, eləcə də dairələr haqqında anlayışımızı dərinləşdirmək üçün bir neçə nümunə məsələ və onların həlli təqdim olunacaq.
Dairənin tərifi
Dairə, dairənin mərkəzi adlanan sabit bir nöqtədən bərabər məsafədə yerləşən müstəvidəki bütün nöqtələrin çoxluğudur. Mərkəz ilə dairənin üzərindəki istənilən nöqtə arasındakı məsafəyə dairənin radiusu deyilir. Mərkəzi \((h, k)\) nöqtəsində və radiusu \(r\) olan dairənin ümumi tənliyi aşağıdakı kimi verilir:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Orada:
– \((h, k)\) dairənin mərkəzinin koordinatlarıdır,
– \(r\) dairənin radiusudur,
– \(x\) və \(y\) dairə üzərindəki istənilən nöqtənin koordinatlarıdır.
Dairənin Elementləri
Nümunə suallara keçməzdən əvvəl, dairədəki bəzi vacib elementləri bilmək yaxşı olardı:
1. Dairənin Mərkəzi: Bir-birindən eyni məsafədə yerləşən bütün nöqtələrin mərkəzi olan sabit bir nöqtə.
2. Radius (r): Dairənin mərkəzindən dairənin istənilən nöqtəsinə qədər olan məsafə.
3. Diametr (d): Dairənin mərkəzindən keçən və dairənin üzərindəki iki nöqtəni birləşdirən düz xəttin uzunluğu radiusun ikiqatından (\(d = 2r\)) ibarətdir.
4. Qövs: Çevrənin iki nöqtəsi arasında yerləşən dairənin çevrəsinin hissəsi.
5. Akkord: Dairənin üzərindəki iki nöqtəni birləşdirən, lakin mərkəzdən keçməyən düz xətt.
6. Apothem: Dairənin mərkəzindən akkorda qədər ən qısa məsafə.
7. Mərkəzi Bucaq: Dairənin mərkəzindən iki radiusun əmələ gətirdiyi bucaq.
8. Perimetr Bucağı: Dairənin bir nöqtəsində kəsişən iki akkordun yaratdığı bucaq.
Nümunə Suallar və Müzakirələr
Nümunə Sual 1
Sual: Mərkəzi \((3, 4)\) nöqtəsində olan və \((7, 4)\) nöqtəsindən keçən bir dairə verilir. Dairənin tənliyini təyin edin.
Müzakirə:
Dairənin tənliyini tapmaq üçün əvvəlcə onun radiusunu bilməliyik. Dairə \(7, 4)\) nöqtəsindən keçdiyindən, bu nöqtə ilə dairənin mərkəzi arasındakı məsafəni, yəni \((3, 4)\) hesablaya bilərik.
\[
r = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
\[
r = \sqrt{(7 – 3)^2 + (4 – 4)^2}
\]
\[
r = \sqrt{4^2 + 0^2}
\]
\[
r = 4
\]
Mərkəzi �((3, 4)) nöqtəsində və radiusu 4 olan dairənin tənliyi belədir:
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 4^2
\]
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
Nümunə Sual 2
Sual: Radiusu 5 sm olan dairənin sahəsini və çevrəsini təyin edin.
Müzakirə:
– Dairənin sahəsi (A) \(A = \pi r^2\) düsturu ilə hesablana bilər,
\[
A = \pi \times 5^2
\]
\[
A = 25\pi \text{ sm}^2
\]
Əgər \(\pi \təxminən 3.14\) olarsa, onda:
\[
A \təxminən 25 \dörd 3.14 = 78.5 \mətn{ sm}^2
\]
– Dairənin çevrə uzunluğu (C) \(C = 2\pi r\) düsturu ilə hesablana bilər,
\[
C = 2 \times \pi \times 5
\]
\[
C = 10\pi \text{ sm}
\]
Əgər \(\pi \təxminən 3.14\) olarsa, onda:
\[
C \təxminən 10 \dəfə 3.14 = 31.4 \mətn{sm}
\]
Nümunə Sual 3
Sual: Dairənin mərkəzi O nöqtəsində, radiusu isə 7 sm-dir. Əgər dairənin üzərində 10 sm uzunluğunda bir vərd çəkilibsə, O mərkəzindən vərdədək ən qısa məsafəni təyin edin.
Müzakirə:
Mərkəzdən akkorda ən qısa məsafəni tapmaq üçün mərkəzdən akkorda ən qısa məsafə olan apotem anlayışından istifadə edirik. Radiusu 7 sm və akkordun uzunluğu 10 sm olduqda, bu məsələyə əmələ gələn düzbucaqlı üçbucaqdan istifadə edərək yanaşa bilərik.
Əgər akkordun orta nöqtəsi C nöqtəsidirsə, onda OC axtardığımız apotemdir. Əgər A və B akkordun uc nöqtələridirsə, onda AC və BC hər biri 5 sm-dir (10 sm-in yarısı).
C nöqtəsində düzbucaqlı olan OAC üçbucağından Pifaqor teoremindən istifadə edirik:
\[
OA^2 = OC^2 + AC^2
\]
\[
7^2 = OC^2 + 5^2
\]
\[
49 = OC^2 + 25
\]
\[
OC^2 = 49 – 25
\]
\[
OC^2 = 24
\]
\[
OC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ sm}
\]
Nümunə Sual 4
Sual: \(x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0\) tənliyi ilə verilən dairə. Dairənin mərkəzini və radiusunu təyin edin.
Müzakirə:
Mərkəzi və radiusu tapmaq üçün tənliyi standart formaya çeviririk:
\[
x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0
\]
Kvadrat formanı təkmilləşdirərək həll edirik:
\[
x^2 + 6x + y^2 – 8y = -9
\]
x həddinə (6/2)(^2) və y həddinə (8/2)(^2) toplama və çıxma:
\[
x^2 + 6x + 9 + y^2 – 8y + 16 = -9 + 9 + 16
\]
\[
(x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
\((x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16\) tənliyindən dairənin mərkəzinin \((-3, 4)\), radiusunun isə \(r = \sqrt{16} = 4\) olduğunu görürük.
Nəticə
Dairə həndəsədə fundamental və vacib bir anlayışdır. Yuxarıdakı nümunə məsələlər və müzakirələr vasitəsilə dairələrin müxtəlif aspektlərini və xüsusiyyətlərini daha dərindən anlaya bilərik. Bu mövzunu mənimsəmək daha mürəkkəb həndəsi məsələləri başa düşməyi və həll etməyi asanlaşdıracaq.
