قانون نيوتن الثاني بشأن الحركة الدورانية

مقال عن قانون نيوتن الثاني للحركة الدورانية

4.1 العلاقة بين عزم القوة، وعزم القصور الذاتي، والتسارع الزاوي

إذا أثرت قوة محصلة (ΣF) على جسم كتلته (m)، فإن الجسم يتحرك حركة خطية بتسارع معين (a). وتُعبّر المعادلة التالية عن العلاقة بين القوة المحصلة والكتلة والتسارع :

Σ F = ma

هذه هي معادلة قانون نيوتن الثاني.

الكميات في الحركة الدورانية التي تُطابق محصلة القوى (ΣF) في الحركة الخطية هي محصلة عزم القوة (Στ). الكميات في الحركة الدورانية التي تُطابق الكتلة (m) في الحركة الخطية هي عزم القصور الذاتي (I). الكميات في الحركة الدورانية التي تُطابق التسارع (a) في الحركة الخطية هي التسارع الزاوي (α).

إذا كان هناك عزم قوة محصل (Στ) يؤثر على جسم له عزم قصور ذاتي معين (I)، فإن الجسم يدور بتسارع زاوي معين (α). وتُعبّر المعادلة التالية عن العلاقة بين عزم القوة المحصل، وعزم القصور الذاتي، والتسارع الزاوي:

Στ = I α

هذه المعادلة هي تشبيه دوراني لقانون نيوتن الثاني.

4.2 أمثلة على مسائل قانون نيوتن الثاني في الحركة الدورانية

مثال توضيحي 1.

بكرة صلبة كتلتها 1 كجم ونصف قطرها 10 سم، ملفوفة بحبل على حوافها، معلق في أحد طرفي الحبل حمولة مقدارها 1 كجم. افترض أن الحبل عديم الكتلة. احسب مقدار تسارع الحمولة عند سقوطها سقوطًا حرًا لأسفل. (g = 10 م/ث²)²)

حل:

معروف:

القوة = الوزن = الكتلة × التسارع = (1 كجم) × (10 م/ث² ⁾ = 10 نيوتن

ص = 0.1 م

المطلوب: تسريع الحمل

حل:

أولاً، احسب عزم القصور الذاتي وعزم القوة.

عزم القصور الذاتي للبكرة الصلبة:

I = ½ mr² ⁼ ½ (1 كجم)(0.1 م) ^²

I = (0.5 كجم)(0.01 م² ⁾ = 0.005 كجم ^م²

لحظة القوة:

τ = F l = (10 نيوتن)(0.1 متر) = 1 نيوتن متر

التسارع الزاوي:

تسارع الحمل:

أ = ص α = (0.1)(200) = 20 م/ث ²

مثال توضيحي 2.

بكرة صلبة كتلتها 2M ونصف قطرها R، ملفوفة على حافتها حبل، معلق في أحد طرفي الحبل حمل كتلته m. عند إزالة الحمل، تدور البكرة بتسارع زاوي. إذا تم ربط البكرة بجسم كتلته M، بحيث تدور البكرة بنفس التسارع الزاوي، فما كتلة الحمل؟ (I pulley = ½ MR² ⁾.

حل:

معروف:

كتلة البكرة الصلبة: 2M

نصف قطر البكرة الصلبة: R

كتلة الحمل: م

مطلوب: كتلة الحمولة

حل:

احسب عزم القصور الذاتي للبكرة الصلبة، قبل وبعد ربط الأجسام ذات الكتلة M:

عزم القصور الذاتي 1: I = 1/2 mr² ⁼ 1/2

(2M)(R) ² = MR ²

عزم القصور الذاتي 2: I = 1/2 mr² ⁼ 1/2

(2M + M)(R) ² = 1⁄2 (3M)(R) ² = 1.5 MR ²

عزم القوة التي يبذلها الحمل على البكرة:

τ = F l = (m)(g)(R)

التسارع الزاوي للبكرة هو نفسه، سواء قبل أو بعد ربط الأجسام ذات الكتلة M.

كتلة الحمل = 1.5 ضعف كتلة الحمل الأصلي.