جمع المتجهات باستخدام المكونات - المشاكل والحلول

جمع المتجهات باستخدام المكونات - المشاكل والحلول

1. ثلاثة متجهات كما هو موضح في الشكل أدناه.

V₁ = 30

V ₂ = 30

V ₃ = 40

ما هي المتجهات الناتجة ؟

معروف :

V1 = 30 _، الزاوية بين V1 _ومحور السينات = 30 ^درجة

V2 = 30 _، الزاوية بين V2 _ومحور السينات = 30 ^درجة

V3 = 40 _، الزاوية بين V3 _ومحور السينات = 0 ^درجة

المطلوب: المتجهات الناتجة

الحل:

مكونات المتجهات :

V _1x = (V ₁ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = 15√3. موجب لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور x الموجب (إلى اليمين).

V _1y = (V ₁ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. موجب لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور y الموجب (لأعلى).

V _2x = (V ₂ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = -15√3. سالبة لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور السيني السالب (إلى اليسار).

V _2y = (V ₂ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. موجب لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور y الموجب (لأعلى).

V _3x = (V ₃ )(cos 0 ^o ) = (40)(1) = 40. موجب لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور x الموجب (إلى اليمين).

V _3y = (V ₃ )(sin 0 ^o ) = (40)(0) = 0

مكونات المتجهات الناتجة:

V _x = V _1x – V _2x + V _3x = 15√3 – 15√3 + 40 = 40

V _y = V _1y + V _2y + V _3y = 15 + 15 = 30

المتجه الناتج :

2. قوتان متعامدتان على بعضهما البعض، F ₁ = 12 نيوتن و F ₂ = 5 نيوتن. ما هي محصلة القوتين؟

معروف :

القوة الثانية (F1 ₎ = 12 نيوتن

القوة الثانية (F2 ₎ = 5 نيوتن

المطلوب: المتجهات الناتجة ( ΣF)

الحل:

ΣF ² = F ₁ ² + F ₂ ² = 12 ² + 5 ² = 144 + 25 = 169

ΣF = √ 169 = 13 نيوتن

3. ثلاثة متجهات،

V₁ = 30

V ₂ = 30

V ₃ = 40

حدد المتجهات الناتجة.

معروف :

v ₁ = 30، يصنع زاوية 30 ^درجة حول المحور السيني السالب

v ₂ = 30، يصنع 30 ^درجة حول المحور السيني الموجب

v ₃ = 40، يصنع 0 ^درجة حول المحور السيني الموجب

المطلوب: المتجهات الناتجة

الحل:

مكونات المتجهات:

v _1x = v ₁ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( سالبة لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور السيني السالب (إلى اليسار) )

v _1y = v ₁ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( موجب لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور y الموجب (لأعلى) )

v _2x = v ₂ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( موجب لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور السيني الموجب (إلى اليمين ) )

v _2y = v ₂ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( موجب لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور y الموجب (إلى الأعلى). )

v _3x = v ₃ cos 0 ^o = (40)(1) = 40 ( موجب لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور x الموجب (إلى اليمين). )

v _3y = v ₃ sin 0 ^o = (40)(0) = 0

مكونات المتجهات الناتجة:

v _x = – v _1x + v _2x + v _3x = -15 √ 3 + 15 √ 3 + 40 = 40

v _y = v _1y + v _2y + v _3y = 15 + 15 = 30

المتجه الناتج:

4. ما هي محصلة ثلاثة متجهات كما هو موضح في الشكل أدناه ؟

معروف :

F₁ = 3 نيوتن، يجعل 60^o حول المحور السيني الموجب

_القوة F2 = 3 نيوتن، تصنع زاوية 0 ^درجة حول المحور السيني السالب

القوة F ₃ = 6 نيوتن ، تصنع زاوية 60 ^درجة حول المحور y السالب

المطلوب: المتجه الناتج

الحل:

مكونات المتجهات:

F _1x = F ₁ cos 60 ^o = (3)(0.5) = 1.5 نيوتن ( موجبة لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور السيني الموجب (إلى اليمين ) )

F _1y = F ₁ sin 60 ^o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 نيوتن ( موجب لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور y الموجب (إلى الأعلى) )

F _2x = F ₂ cos 0 ^o = (3)(1) = -3 N ( سالبة لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور x السالب (إلى اليسار) )

F _2y = F ₂ sin 0 ^o = (3)(0) = 0

F _3x = F ₃ cos 60 ^o = (6)(0.5) = 3 نيوتن ( موجبة لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور السيني الموجب (إلى اليمين ) )

F _3y = F ₃ sin 60 ^o = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( سالبة لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور y السالب ( إلى الأسفل ) )

مكونات المتجهات الناتجة:

ΣF _x = F _1x – F _2x + F _3x = 1.5 N – 3 N + 3 N = 1.5 N

ΣF _y = F _1y + F _2y – F _3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N

المتجه الناتج:

5. قوتان، _F1 = 15 نيوتن و F2 _{= 9 نيوتن} . الزاوية بين المتجهين 60 درجة. ما هي محصلة المتجهين؟

مطلوب:

القوة 1 (F ₁ ) = 15 نيوتن

القوة الثانية (F2 ₎ = 9 نيوتن

الزاوية ( θ) = 60 ^درجة

المطلوب: المتجه الناتج

الحل:

6. ما هي محصلة ثلاثة متجهات كما هو موضح في الشكل أدناه؟

معروف :

F₁ = 20 نيوتن، الزاوية بين F₁ ومحور السينات = 0

_القوة F2 = 20 نيوتن، الزاوية بين F2 _ومحور السينات = 60

_القوة F3 = 24 نيوتن، الزاوية بين F3 _ومحور السينات = 60

المطلوب: المتجه الناتج

الحل:

مكونات المتجهات:

F _1x = (F ₁ )(cos 0) = (20)(1) = 20. موجبة لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور السيني الموجب (إلى اليمين ).

F _1y = (F ₁ )(sin 0) = (20)(0) = 0

F _2x = (F ₂ )(cos 60) = (20)(0.5) = -10. القيمة سالبة لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور السيني السالب (إلى اليسار).

F _2y = (F ₂ )(sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. موجبة لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور y الموجب (إلى الأعلى).

F _3x = (F ₃ )(cos 60) = (24)(0.5) = -12. القيمة سالبة لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور السيني السالب (إلى اليسار).

F _3y = (F ₃ )(sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. N سالبة لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور y السالب ( إلى الأسفل ).

مكونات المتجهات الناتجة:

F _x = F _1x – F _2x – F _3x = 20 – 10 – 12 = -2

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3

المتجه الناتج: