المتجهات - المشاكل والحلول
المتجهات والكميات العددية
1. من بين الخيارات التالية، أيها أزواج من الكميات العددية والمتجهات؟
أ. القوة – التسارع
ب. الضغط – القوة
ج. الإزاحة – السرعة
د. التيار الكهربائي - الضغط
الحل:
القوة = متجه، التسارع = متجه
الضغط = كمية قياسية، القوة = كمية متجهة
الإزاحة = كمية متجهة، السرعة = كمية قياسية
التيار الكهربائي = كمية قياسية، الضغط = كمية قياسية
الجواب الصحيح هو ب.
2.
الإجابة الصحيحة موضحة بالرقم…
أ. 1 و 4
ب. 1 و 2
ج. 2 و 3
د. 3 و 4
الحل:
السرعة = كمية قياسية
الإزاحة = متجه
الوزن = متجه
التسارع = متجه
الاجابة الصحيحة هي رقم ج.
مكونات المتجهات
3. متجهان، F1 = 20 نيوتن و F2 = 30 نيوتن، لهما الاتجاه الموضح في الشكل أدناه. حدد محصلة مركبات المتجهين على المحورين السيني والصادي.
أ. 5√3 نيوتن و -25 نيوتن
ب. -5√3 نيوتن و 25 نيوتن
ج. 25 نيوتن و 5√3 نيوتن
د. 30 نيوتن و 25√3 نيوتن
معروف :
F 1 = 20 نيوتن
الزاوية بين F1 ومحور السينات = 30 درجة
F 2 = 30 نيوتن
الزاوية بين F2 ومحور السينات = 30 درجة
المطلوب: F x و F y
الحل:
F 1x = F 1 cos 30 o = (20)(0.5√3) = 10√3 نيوتن (إشارة زائدة لأنها تشير إلى المحور +x)
F 1y = F 1 sin 30 o = (20)(0.5) = 10 نيوتن (إشارة زائدة لأنها تشير إلى المحور +y)
F 2x = F 2 cos 30 o = (30)(0.5√3) = -15√3 نيوتن (إشارة سالبة لأنها تشير إلى المحور -x)
F 2y = F 2 sin 30 o = (30)(0.5) = 15 نيوتن (إشارة زائدة لأنها تشير إلى المحور +y)
محصلة المركبة السينية:
F x = F 1x + F 2x = 10√3 نيوتن – 15√3 نيوتن = -5√3 نيوتن
محصلة المركبة y:
F y = F 1y + F 2y = 10 نيوتن + 15 نيوتن = 25 نيوتن
الجواب الصحيح هو ب.
محصلة متجهين
4. يقوم طفلان A و B بدفع مكعب، إذا قام A بدفع المكعب جنوبًا بقوة 400 نيوتن وفي نفس الوقت قام B بدفع المكعب شرقًا بقوة 300 نيوتن، فحدد محصلة القوتين A و B.
أ. 100 شمالاً باتجاه الجنوب
ب. 100 شمال شرقاً
ج. 500 شمالاً باتجاه الجنوب الشرقي
د. 700 شمالاً باتجاه الجنوب الشرقي
معروف :
U = شمال، T = شرق، S = جنوب، B = غرب
TL = شمال شرق، TG = جنوب شرق، BD = جنوب غرب، BL = شمال غرب
أ = 400 نيوتن جنوباً
ب = 300 نيوتن شرقاً
المطلوب: مقدار واتجاه القوة المحصلة (R)
الحل:
الاجابة الصحيحة هي رقم ج.
محصلة متجه الإزاحة
5. يقود شخص دراجة نارية من منزله مسافة 6 كيلومترات شمالاً ثم 8 كيلومترات شرقاً. حدد الموقع النهائي للشخص انطلاقاً من موقعه الابتدائي.
أ. 14 كم شمال شرق
ب. 14 كم جنوب غرب
ج. 10 كم شمال شرق
د. 10 كم شمال غرب
معروف :
المطلوب: مقدار واتجاه الإزاحة الناتجة
الحل:
الاجابة الصحيحة هي رقم ج.
6.
استنادًا إلى الشكل أعلاه، إذا كان المربع الواحد يمثل كيلومترًا واحدًا، فما هي الإزاحة الكلية؟
الحل:
المسافة = أ + ب + ج = 6 + 6 + 2 = 14 كم
الإزاحة = R = 12 كم
7. تسير سيارة من النقطة أ إلى النقطة ب مسافة 30 كم شمالاً، ثم 60 كم شرقاً، ثم 110 كم جنوباً. احسب إزاحة السيارة من النقطة أ إلى النقطة د.
الحل:
AA' = 60 كم
A'D = 110 كم – 30 كم = 80 كم
8. تسير سيارة من المدينة أ إلى المدينة ب مسافة 100 كم شمالاً، ثم إلى المدينة ج مسافة 60 كم شرقاً، ثم إلى المدينة د مسافة 20 كم جنوباً. احسب إزاحة السيارة.
الحل:
D'D = 60 كم
AD' = 100 كم – 20 كم = 80 كم
- ما هو المتجه؟
- الجواب: المتجه هو كمية لها مقدار (حجم) واتجاه. ومن أمثلته السرعة والقوة والتسارع.
- كيف يختلف المتجه عن الكمية القياسية؟
- الجواب: الكمية القياسية لها مقدار فقط، بينما الكمية المتجهة لها مقدار واتجاه. على سبيل المثال، درجة الحرارة كمية قياسية لأنها لها قيمة ولكن ليس لها اتجاه، بينما السرعة كمية متجهة لأنها تشير إلى مقدار السرعة في اتجاه معين.
- كيف يمكن تمثيل متجه بيانيًا؟
- الجواب: يمكن تمثيل المتجه بيانياً بسهم. يمثل طول السهم مقدار المتجه، ويشير اتجاه السهم إلى اتجاه المتجه.
- ما أهمية ذيل ورأس المتجه؟
- الجواب: الذيل هو نقطة بداية المتجه، والرأس (أو الطرف) هو نقطة نهايته. عند إجراء عمليات مثل جمع المتجهات، يُوضع ذيل أحد المتجهات عند رأس المتجه الآخر.
- كيف يتم جمع المتجهات؟
- الجواب: تُجمع المتجهات باستخدام طريقة الرأس إلى الذيل. يُوضع ذيل المتجه الثاني عند رأس المتجه الأول. ثم يُرسم المتجه الناتج من ذيل المتجه الأول إلى رأس المتجه الثاني.
- ما الفرق بين متجه الوحدة والمتجه الصفري؟
- الجواب: متجه الوحدة له مقدار يساوي واحدًا ويشير إلى اتجاه محدد. يُستخدم لتمثيل اتجاه المتجه بغض النظر عن مقداره. أما المتجه الصفري (أو المتجه الصفري) فليس له مقدار ولا اتجاه محدد.
- كيف يمكن ضرب متجه بكمية قياسية؟
- الجواب: يؤدي ضرب متجه في عدد قياسي إلى تغيير مقداره، لكنه لا يغير اتجاهه. فإذا كان العدد القياسي موجباً، يبقى الاتجاه كما هو؛ وإذا كان سالباً، ينعكس الاتجاه.
- ماذا يعني أن يكون متجهان متعامدين أو متعامدين؟
- الجواب: يكون المتجهان متعامدين إذا كانت الزاوية بينهما 90 درجة. ويكون حاصل ضربهما القياسي صفراً.
- كيف يتم تحديد محصلة متجهين؟
- الجواب: المحصلة هي مجموع المتجهين. بيانيًا، عند تمثيل المتجهين بأسهم، يمكنك إيجاد المحصلة بوضع ذيل المتجه الثاني عند رأس المتجه الأول ورسم سهم جديد (المحصلة) من ذيل المتجه الأول إلى رأس المتجه الثاني.
- إذا كان متجه يشير إلى الشرق تماماً بمقدار 10 وحدات، فكيف تصف عكسه؟
- الجواب: سيكون للمتجه المعاكس نفس المقدار (10 وحدات) ولكنه سيشير في الاتجاه المعاكس، أي باتجاه الغرب.
