動能原理；非保守力；斜面上的摩擦運動－問題與解答

2. 動能原理；非保守力；斜面上的摩擦運動－問題與解答

1. 一個物塊沿斜面下滑，有摩擦力。物塊落地時的速度是多少？動摩擦係數為0.4，重力加速度為10 m/ ^s²。

已知：

初始高度（h）_o) = 6米

最終高度（h_{_t}）= 0 米

初速（v₀ _） = 0 （物體初始靜止）

動摩擦係數（μk _） = 0.4

重力加速度(g) = 10 m ^/s²

cos θ = 鄰邊/斜邊 = 8/10

重力的垂直分量= w _y = w cos θ = mg cos θ = m (10)(8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m

正壓力= N = w _y = 8 m

動摩擦力 = f _k = μ _k N = μ _k w _y = (0.4)(8 m) = 3.2 m

所需數據：最終速度（v _t）

解決方案：

功-機械能原理指出，作用於物體上的非保守力所做的功等於動能和位能的總變化量。

W_nc = ΔEM

W _nc = ΔEK + ΔEP

W _nc = 非保守力所做的功，Δ EM =機械能的變化，Δ EK = 動能的變化，Δ EP = 位能的變化。

動能的變化：

ΔEK = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 m (v _t ² – 0) = 1/2 mv _t ²

位能的變化：

ΔEP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 m

動摩擦力所做的功：

W _nc = – f _k s = – (3.2 米)(10) = – 32 米

負號表示動摩擦力對滑塊所做的功為負。

確定最終速度（v _t）：

W _nc = ΔEK + ΔEP

– 32 m = 1/2 mv _t ² – 60 m

– 32 公尺 = 公尺 (1/2 v _t ² – 60)

– 32 = 1/2 v _t ² – 60

– 32 + 60 = 1/2 v _t ²

28 = 1/2 v _t ²

2 (28) = v _t ²

56 = v _t ²

v _t = √4.14

v _t = 2√14 ms ^-1

2.

一個物塊沿斜面下滑，斜面有摩擦力。物塊落地時的最終速率為 10 m/s² ^。如果摩擦力為 2 N，重力加速度為 10 m/s² ^，則物塊的高度 h 為多少？

已知：

物塊質量 (m) = 1 kg

初速（v₀ _） = 0 （物體初始靜止）

最終速度（v _t）= 10 ms ^-1

初始高度（h₀ _） = h

最終高度（h_{_t}）= 0

動摩擦力 (f _k ) = 2 N

重力加速度 (g) = 10 m ^/s²

要求：身高（h）

解決方案：

做功的是動摩擦力：

W _nc = – f _k d = – (2)(15) = – 30

負號表示動摩擦力對滑塊所做的功為負。

動能的變化：

ΔEK = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 (1)(10 ² – 0) = 1/2 (10 ² ) = 1/2 (100) = 50

位能的變化：

ΔEP = mg (h _t – h _o ) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h

功-機械能原理方程式：

W _nc = ΔEK + ΔEP

– 30 = 50 – 10 小時

10 小時 = 50 + 30

10 h = 80

h = 80/10

h = 8 米

1. 什麼是功-能原理？
   • 答： 動能原理指出，作用在物體上的功等於物體動能的變化。數學上， $W=\Delta KE$，其中 $W$ 工作完成了嗎？ $\Delta KE$ 是動能的變化。
2. 非保守力與保守力有何不同？
   • 答： 非保守力，例如摩擦力，會導致系統損失機械能，通常以熱能的形式散失。相反，保守力，例如重力或彈簧力，不會耗散機械能，而是可以在系統內將機械能轉換為位能和動能。
3. 摩擦力如何影響物體在斜面上運動所做的功？
   • 答： 摩擦力的方向與物體運動的方向相反。這意味著摩擦力對物體做負功，減少物體的動能，或增加使物體沿斜面向上移動所需的外部做功。
4. 為什麼物體的位能不會因為非保守力而改變？
   • 答： 位能與保守力相關，其變化僅取決於物體的初始位置和最終位置，而與運動路徑無關。非保守力可以改變物體的動能，但不伴隨位能。
5. 傾斜角度如何影響物體在有摩擦力的斜面上的運動？
   • 答： 傾斜角越大，重力沿斜面方向的分力越大。這使得物體更難保持靜止或沿斜面向上移動，而更容易沿斜面向下加速運動。摩擦力會阻礙這種運動，但隨著傾斜角的增加，摩擦力的影響相對會減少。
6. 為什麼物體在有摩擦力的斜面上不會無限加速運動？
   • 答： 由於摩擦力的存在，當物體移動時，部分重力位能會轉換為熱能。最終，平行於平面的重力與摩擦力會達到平衡，物體將以恆定速度運動或停止運動。
7. 非保守力所做的功能否被恢復？
   • 答： 非保守力所做的功通常會轉化為熱能等能量形式，而這些能量通常更難轉換回有用的機械能。在大多數實際情況下，這部分能量被認為是系統「損失」的。
8. 決定斜面上摩擦力大小的因素是什麼？
   • 答： 斜面上的摩擦力由法向力（垂直力）和接觸面之間的摩擦係數決定。其表達式為： ffriction​=μ×fnormal​，其中 $\mu$ 是摩擦係數。
9. 為什麼在某些參考點上位能被定義為零？
   • 答： 位能是一種相對量。透過定義一個位能為零的參考點，可以為計算相對於該參考點不同位置的位能變化提供一致的基礎。
10. 如果斜面上沒有摩擦力，物體的運動會如何改變？

• 答： 如果沒有摩擦力，物體沿著斜面方向受到的唯一作用力就是重力沿斜面方向的分力。因此，物體僅靠重力沿斜面加速運動，除非受到其他外力的作用，否則無法達到恆定速度。