圓週運動中的物理量

圓週運動的物理量包括角位移、角速度和角加速度。

1. 角位移 （θ）

圓週運動中的位移稱為角位移。角位移包含向量，因此具有大小和方向。角位移的方向通常以順時針方向（順時針或逆時針）表示。

角位移有三個單位。首先是度（°）。圓週長一周等於 360°。^o第二，旋轉。圓週長等於圓週長。第三，弧度。觀察下圖。若物體沿著圓週運動，則 r = 圓的半徑，x = 物體運動的圓週長。

圓的周長等於 2π 弧度。

例題1：

1 轉 = 360 ^°。 ½ 轉 = … 弧度？

解決方案：

1 轉 = 360 ^o = 2 π rad = 2(3.14) rad = 6.28 rad

半圈 = 180 ^° = 1/2 (6.28弧度) = 3.14弧度

例題2：

1 rad = …… ^o？ 1 ^o = … rad ?

解決方案：

180 ^° = π弧度 = 3.14弧度

2. 角速度 (ω)

a. 平均角速度

例題3：

一個輪子順時針旋轉，旋轉180 ^°用時2秒，旋轉90 ^°用時1秒。求平均角速度的大小和方向。

解決方案：

平均角速度的方向為順時針方向。

9 ^° /s = … rad/s？

例題4：

^{一個輪子順時針旋轉，以 360 °}的角度旋轉4 秒。然後，輪子逆時針旋轉，以 180 ^°的角度旋轉2 秒。平均角速度是多少？

解決方案：

平均角速度的方向為順時針方向。

3 ^° /s = … rad/s？

b.瞬時角速度

瞬時角速度通常簡稱為角速度。如果只提及角速度，則指的就是瞬時角速度。瞬時角速度的大小等於在極短時間間隔內角速度的大小。數學表達式為：

如果在直線運動中，我們可以用速率代替速度的大小，那麼在圓週運動中，我們可以用角速率來代替角速度的大小。

3. 角加速度 (α)

a.平均角加速度

例題5：

一台風車最初處於靜止狀態，受風力吹動後順時針旋轉。 2 秒後，角速度變為 90 ^° /s。平均角速度是多少？

解決方案：

平均而言，風車的角速度每秒變化 45 度/秒 = … 弧度/秒？

b.瞬時角加速度

瞬時角加速度通常簡稱為角加速度。瞬時角加速度是指在極短時間間隔內角速度的變化。數學表達式為：

圓週運動中的線性量

線性量是指描述直線運動的量，例如位移（距離）、速度（速率）和加速度。另一方面，描述圓週運動的量可以稱為角量。

1.排量

觀察一個旋轉的物體，例如輪子、風扇、風車或鐘錶等等。當像風扇這樣的物體旋轉時，風扇的所有部件都會一起旋轉。如果風扇旋轉一週（360 ^°），那麼風扇的所有部件，無論位於邊緣或靠近軸線，也都會旋轉一週或360 ^°。一週或360 ^°是風扇所有部件（包括位於邊緣和靠近軸線的部件）所做角位移的大小。

當風扇旋轉一週時，位於邊緣的扇葉部分和靠近旋轉軸的扇葉部分移動的距離為一個圓週（2）。如果風扇的半徑為20厘米，則從風扇邊緣到旋轉軸的距離為20厘米。例如，旋轉軸到靠近旋轉軸的扇葉部分的距離為1公分。當風扇旋轉一週時，風扇邊緣沿圓週運動的距離為（2）（3.14）（20公分）= 125.6公分。

而位於軸線附近的點則做圓週運動，其運動距離為 (2)(3.14)(1 cm) = 6.28 cm。 125.6 cm 是扇形邊緣的位移量。

其中，6.28 cm 是位於旋轉軸附近一點的位移量。 r 越小，位移越小。位移 (d) 與角位移 (θ) 之間的關係可以用以下公式表示：

θ = d / r

d = r θ

d = 位移（公尺），r = 半徑或到旋轉軸的距離（公尺），θ = 角位移（弧度）

例題6：

半徑為 5 公分的 CD 旋轉了 90°。求距離旋轉軸 2 公分的點的位移。

解決方案：

r = 距旋轉軸的距離 = 2 公分 = 0.02 米

θ = 90 ^° = 1.57弧度（必須以弧度表示）

d = (0.02 公尺)(1.57 弧度) = 0.03公尺。

角位移沒有國際單位制單位，也沒有量綱（其量綱為 1），因此在上述計算中，只需從計算結果中去除弧度單位即可。

2. 速度

風扇或任何旋轉物體旋轉時，當然需要一定的時間間隔。如果風扇順時針旋轉，旋轉一週（360 ^°）需要1秒鐘，

則風扇所有部分的角速度為 1 轉/秒 = 360^度/秒 = 6.28 弧度/秒，角速度的方向與時針的方向相同。

如果風扇半徑為 20 厘米，則風扇邊緣的圓週運動速度為 2(3.14)(20 厘米) / 1 秒 = 125.6 厘米/秒 = 1.256 米/秒。距離旋轉軸 1 公分（0.01 公尺）處的點的速度為 2(3.14)(1 公分) / 1 秒 = 6.28 公分/秒 = 0.0628 公尺/秒。半徑 r 越小，速度越小。在圓週運動中，速度通常被稱為切向速度。

速度（v）與角速度（ω）之間的關係可以用以下公式表示：

v = 速度（公尺/秒），r = 半徑或到旋轉軸的距離（公尺），ω = 角速度（弧度/秒）

例題7：

第二根指針的速度為 6.28 rad/分鐘 = 6.28 rad / 60 秒 = 0.1 rad/s。距離旋轉軸 2 公分（0.02 公尺）處的點的速度是多少？

解決方案：

ω = 0.1 rad/s，r = 0.02 m

v = r

ω = (0.02 m)(0.1 rad/s) = 0.002 m/s

從計算結果中去除弧度。

3.加速

當圓週運動的物體的速度大小和方向改變時，物體就會產生加速度。因此，圓週運動中存在著兩種加速度。第一種是向心加速度（a_{_c}），也稱為徑向加速度（a_{_r}）。向心加速度是由於速度方向的變化而產生的。向心加速度的方向始終指向圓心。

向心加速度的大小為：

a _c = 向心加速度 (m/s ² )，r = 半徑或到旋轉軸的距離 (m)，v = 速度 (m/s)，ω = 角速度 (rad/s)

其次，切向加速度 (a_{_t} )。切向加速度是由於速度大小的變化而產生的。考慮旋轉風扇邊緣上的一個點。如果風扇最初是靜止的，那麼風扇邊緣上的點也是靜止的 (v = 0)。如果一秒後，風扇以 1 轉/秒 = 360 ^° /秒 = 6.28 弧度/秒的角速度旋轉，那麼風扇邊緣上的點將以 1.2 公尺/秒的速度做圓週運動。

那麼，風扇邊緣的點所受到的切向加速度為 1.2 公尺/秒 每秒 = 1.2 公尺/秒²。

_{切向加速度（a t}）與角加速度（α ）之間的關係可以用以下公式表示：

a _t = 切向加速度 (m/s ² )，r = 半徑或到旋轉軸的距離 (m)，α = 角加速度 (rad/s ² )

週期 (T) 和頻率 (f) 與速度和角速度的關係

週期表示物體完成一次旋轉所需的時間，而頻率表示物體在一秒鐘內旋轉的次數。週期和頻率之間的關係可以用以下公式表示：f = 1/T

週期的國際單位制單位是秒，頻率的國際單位制單位是1/秒（=赫茲）。圓週運動粒子的速度（v）和角速度（ω）都可以用週期或頻率來表示。

圓週運動粒子的速度（v）可以用以下公式表示：

圓週運動粒子的角速度（ω）大小可用下列公式表示：