3. 面積擴張相關問題範例
1. 一塊鋼板在20 ℃時長50cm，寬30cm。如果鋼的線膨脹係數為10⁻⁵ ℃ ⁻¹ ，那麼當溫度升至60℃時，鋼板的面積和總面積分別增加了…
彭巴哈桑
已知：
初始溫度（T1 ）= 20 ℃
最終溫度（T2 ）= 60 ℃
溫度變化 (ΔT ) = 60 ℃ – 20 ℃ = 40 ℃
初始面積（A1 ） = 長 × 寬 = 50 公分 × 30 公分 = 1500 平方厘米
鋼的線膨脹係數（α ）= 10 -5 o C -1
鋼的膨脹係數 (β ) = 2a = 2 x 10 -5 o C -1
問題：面積增加（ΔA ）
面積增加量（ΔA ）：
ΔA = β A 1Δ T
ΔA = ( 2 x 10 -5 o C -1 )(1500 cm 2 )(40 o C)
ΔA = (80 x 10 -5 )(1500 cm 2 )
ΔA = 1 20.000 x 10 -5 cm 2
ΔA = 1.2 × 10⁵ × 10⁻⁵ cm²
ΔA = 1.2 cm 2
總面積（A2 ）：
A 2 = A 1 + Δ A
A 2 = 1500 cm 2 + 1.2 cm 2
A 2 = 1501 , 2 cm 2
2. 一條線膨脹係數為 24 x 10 -6 / o C 的鋁板，在 30 o C 時面積為 40 cm 2。若鋁板的面積增加到 40,2 cm 2 ，求最終溫度。
彭巴哈桑
已知：
初始溫度（T1 ）= 30 ℃
鋁的線膨脹係數 (α ) = 24 x 10 -6 o C -1
鋁的面積膨脹係數 (β ) = 2α = 2 × 24 × 10⁻⁶ ℃ ⁻¹ = 48 × 10⁻⁶ ℃ ⁻¹
初始面積（A1 ） = 40 cm2
最終面積 (A2 ) = 40,2 cm2
面積變化量 (ΔA ) = 40,2 cm² – 40 cm² = 0,2 cm²
問題：確定最終溫度（T2）
回答 ：
面積變化量（ΔA ）的計算公式：
ΔA = β A 1 Δ T
最終溫度（T2 ）：
ΔA = β A 1 (T 2 – T 1 )
0,2厘米2 = (48 x 10-6 oC-1（40公分）2)(T2 - 30oC)
0,2 = (1920 x 10 -6 ) (T 2 – 30 )
0,2 = (1,920 x 10 -3 ) (T 2 – 30)
0,2 = (2 x 10 -3 ) (T 2 – 30)
0,2 / (2 x 10 -3 ) = T 2 – 30
0,1 x 10³ = T² - 30
1 x 10² = T² – 30
100 = T 2 – 30
100 + 30 = T 2
T2 = 130
最終溫度 =攝氏130度
3. 一個圓形物體在20℃時半徑為20公分。如果溫度升至100℃時半徑增加至20,5厘米，那麼該物體的線膨脹係數為…
彭巴哈桑
已知：
初始溫度（T1 ）= 30 ℃
最終溫度（T2 ）= 100 ℃
溫度變化 (ΔT ) = 100 ℃ – 30 ℃ = 70 ℃
初始半徑 (r1 ) = 20 厘米
最終半徑 (r₂ ) = 20,5 厘米
問題：物體的面積膨脹係數（b ）
回答 ：
圓的初始面積 (A₁ ) = πr₁² = (3,14)(20 cm) ² = ( 3,14)(400 cm² ) = 1256 cm²
圓的最終面積 (A₂ ) = πr² = ( 3,14 )(20,5 cm) ² = (3,14)(420,25 cm² ) = 1319,585 cm²
圓的面積增加量 (ΔA ) = 1319,585 cm² – 1256 cm² = 63,585 cm²
面積變化量（ΔA ）的計算公式：
ΔA = β A 1 ΔT
面積膨脹係數：
ΔA = β A 1 ΔT
63,585 cm 2 = β (1 256 cm 2 )(70 o C)
63,585 = β ( 87920 o C)
β = 63,585 / 87920攝氏度
β = 0,00072 /攝氏度
β = 7,2 × 10⁻⁴ / ° C
β = 7,2 x 10 -4 o C -1
線性膨脹係數（α ）：
β = 2 α
α = β / 2
α = (7,2 x 10 -4 ) / 2
α = 3,6 x 10 -4 o C -1
