討論等比數列的例題
等比數列是數學中一個基礎概念，通常在高中階段教授。這類數列由若干個數字組成，每個數字都是前一個數字乘以一個稱為「比」的常數。本文將透過幾個例題和討論，幫助讀者更理解等比數列的概念。
理解幾何級數
等比數列是由首數 (a) 乘以固定比率 (r) 而得到的數列。一般來說，等比數列的一般形式為：
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
這裡：
– 「a」是數列的第一項。
– 「r」表示一個項與前一個項的比值。
– 「n」是數列中的第n項。
範例問題及討論
讓我們透過一些例題來更好地理解等比數列。
例題 1
問題：
已知一個等比數列，首項 (a) 為 3，比 (r) 為 2。求：
1. 數列的第 5 項。
2. 數列前 6 項之和。
討論：
1. 第 5 項 (U5) 可以使用等比數列第 n 項的公式計算，即：
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
將 a = 3、r = 2 和 n = 5 代入公式：
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
所以，這個數列的第 5 項是 48。
2. 等比數列前 6 項和 (S6) 可以用等比數列前 n 項總和的公式計算，即：
\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]
將 a = 3、r = 2 和 n = 6 代入公式：
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( 63 \right) \]
\[ S_6 = 189 \]
因此，該數列前 6 項和為 189。
例題 2
問題：
一個等比數列的第 3 項為 27，第 5 項為 243。求首項 (a) 的值和比 (r)。
討論：
已知 U3 = 27，U5 = 243。利用等比數列第 n 項的公式：
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
致 U3：
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
致 U5：
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
比較方程式 (1) 和 (2) 以消去 a：
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ 或 } r = -3 \]
將 r 的值代入方程式 (1)：
如果 \( r = 3 \):
\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
如果 \( r = -3 \):
\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
因此，第一項（a）為 3，比率（r）可以是 3 或 -3。
例題 3
問題：
求下列等比數列的無窮和，已知首項 (a) 為 8，比值 (r) 為 1/2。
討論：
等比數列的無窮和可以用以下公式計算：
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
將 a = 8 和 r = 1/2 代入公式：
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \times 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]
所以，等比數列的無窮和為 16。
例題 4
問題：
一個等比數列的第二項為 12，第四項為 108。求該數列的比值和首項。
討論：
已知 \( U_2 = 12 \) 和 \( U_4 = 108 \)。利用等比數列的第 n 項公式：
對於 \( U_2 \):
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
對於 \( U_4 \):
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
比較方程式 (1) 和 (2) 以消去 a：
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ 或 } r = -3 \]
將 r 的值代入方程式 (1)：
如果 \( r = 3 \):
\[ 12 = a \cdot 3 \]
\[ a = 4 \]
如果 \( r = -3 \):
\[ 12 = a \cdot (-3) \]
\[ a = -4 \]
因此，第一個項（a）可以是 4 或 -4，比率（r）可以是 3 或 -3。
結論
等比數列是數學中重要的概念，在各領域都有廣泛的應用。透過理解其基本原理並練習解題技巧，我們有望更熟練地理解和運用這個概念。本文包含若干例題及討論，旨在幫助讀者更深入學習和理解等比數列。希望對您有幫助！
