討論等差數列的例題
等差數列是數學中的一個基本概念，在中學和高等教育的各種問題中都經常出現。這個概念指的是一個數列，其中每一項都是在前一項的基礎上加上或減去一個常數。在本文中，我們將討論幾個例題及其解答，以加深對等差數列概念的理解。
理解等差數列
等差數列是指相鄰兩項之差（差值）恆定的數列。例如，如果一個等差數列的首項為 a，差值為 d，則該數列的各項可以寫成如下形式：
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
如果我們要求這個數列的第n項，第n項(\(U_n\))的公式是：
\[ U_n = a + (n-1)d \]
同時，等差數列前n項總和（\(S_n\)）可以用下列公式計算：
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
範例問題及討論
例題 1
問題：已知一個等差數列，首項 \(a = 5\)，公差 \(d = 3\)。求該數列的第 10 項。
討論：
為了求第 10 項（\(U_{10}\)），我們可以用第 n 項公式：
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
所以，該數列的第 10 項是 32。
例題 2
問題：求首項為 \(a = 4\)，公差為 \(d = 7\) 的等差數列的前 15 項之和。
討論：
為了求出前 15 項和 (\(S_{15}\))，我們可以使用前 n 項總和的公式：
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
因此，該數列前 15 項和為 795。
例題 3
問題：已知等差數列的第5項為20，第12項為48。求該數列的首項（\(a\)）和公差（\(d\)）。
討論：
根據給定條件：
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
我們有兩組二元一次方程式可以解：
1. (a + 4d = 20)
2. (a + 11d = 48)
由式 1 可知，我們可以用 \(d\) 表示 \(a\)：
\[ a = 20 – 4d \]
現在我們將 \(a\) 代入方程式 2：
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
現在我們將 \(d\) 的值代入方程式 \(a = 20 – 4d\):
\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
所以，數列的首項是 4，公差是 4。
例題 4
問題：首項 \(a = 2\)，公差 \(d = 5\) 的等差數列，其和為 200 需要多少項？
討論：
在這種情況下，我們需要找到前 n 項總和 (\(S_n\))，使其等於 200。使用前 n 項總和的公式：
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
代入 \(a\) 和 \(d\) 的值：
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
這是一個二次方程式。為了解它，我們需要改變它的形式：
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
使用二次方程式公式 \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
在這種情況下，\(a = 5\)，\(b = -1\)，\(c = -400\)：
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
那麼，\(\sqrt{8001}\) 的值就接近 89.42：
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
我們取正值：
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \approx \frac{90.42}{10} \]
\[ n \approx 9.042 \]
因此，所需的項數為 9 項（四捨五入）。
結論
等差數列是數學中重要的課題。透徹理解首項、公差、第n項以及前n項總和對於解決各種各樣的問題至關重要。透過以上範例和討論，希望讀者能更能理解等差數列的基本概念。
