伯努利原理和方程

伯努利原理和方程材料

当我们骑摩托车速度很快时，衣服后摆会鼓起来。如果你还不会骑摩托车，可以观察一下你的父母或朋友骑摩托车的样子。他们骑车速度快的时候，衣服后摆通常也会鼓起来。有时候，当风很大的时候，即使风是从屋外吹来的，门也会自动关上。

这可以用伯努利原理来解释。丹尼尔·伯努利（1700-1782）发现了一个可以用来解释上述一些现象的原理。

伯努利原理

伯努利原理指出，流体流速高的地方，流体压力低；反之，流速低的地方，压力高。当摩托车高速行驶时，你身体前方和两侧的空气流速很高，因此气压较低。由于身体后方被前方的空气阻挡，你身体后方（正后方）的空气流速不会升高，导致你身体后方的气压较高。由于前后气压存在差异，你身体后方的气压较高，空气会将你的衬衫向后推，使衬衫后部看起来鼓了起来。

如果外面刮大风时，一扇门会自动关上，这是怎么回事？外面的空气流动速度比里面的空气快，因此，外面的气压低于里面的气压。由于这种气压差，在气压较高的地方，门会被向外推。换句话说，门会从气压较高的地方移动到气压较低的地方。

伯努利方程

之前我们学习了伯努利原理。伯努利也对这一原理进行了定量推导。为了推导伯努利方程，我们假设流体为稳态层流、不可压缩，且粘度很低（可以忽略不计）。

在讨论连续性方程时，我们了解到流体流量也会随流动管道的横截面积而变化。基于前面解释的伯努利原理，流体压力也会随流体流量而变化。流体压力还会随流体高度而变化。压力、流量和流动高度之间的关系可以从伯努利方程中得出。

伯努利方程非常重要，因为它可用于分析飞机飞行、水力发电厂、管道系统等。为了使我们推导的伯努利方程具有普遍适用性，我们假设流体流经横截面积和高度均不相等的管道（见下图）。为了推导伯努利方程，我们将动能定理应用于管道内的流体。接下来，我们将计算流体的流量以及移动流体所做的功。

图中流动管内不透明的颜色表示有流体流动，而白色表示没有流体流动。

横截面面积 1（左侧）内的流体流动距离 L1 _，迫使横截面面积 2（右侧）内的流体移动距离 L2 _。由于右侧横截面面积 2 较小，因此流管右侧的流体流量更大（回想一下连续性方程）。这导致横截面面积 2（流管右侧）和横截面面积 1（流管左侧）之间产生压差——回想一下伯努利原理。横截面面积 1 左侧的流体对右侧的流体施加压力 P1，并做功_：

那么方程 W ₁可以写成：

W ₁ = p ₁ A ₁ L ₁

在横截面 2（流动管右侧），流体所做的功为：

W ₂ = − p ₂ A ₂ L ₂

负号表示所施加的力与运动方向相反。因此，流体对截面 2 右侧做功。此外，重力也对流体做功。在上述情况下，一定质量的流体从截面 1 移动到截面 2，距离为 L1 _，其中截面 1 处的流体体积 (A1L1 )_{等于截面2处的}流体体积 (A2L2 _{) 。}重力所做的功为：

W ₃ = − mg (h ₂ − h ₁ )

W ₃ = − mgh ₂ + mgh ₁ )

W ₃ = mgh ₁ − mgh ₂

负号是由于流体向上流动，方向与重力方向相反。因此，如图所示，流体所做的总功为：

W = W ₁ + W ₂ + W ₃

W = P ₁ A ₁ L ₁ ‐ P ₂ A ₂ L ₂ + mgh ₁ ‐ mgh ₂

动能定理指出，作用于系统的总功等于其动能的变化。因此，我们可以用动能的变化（EK2 - EK1）来代替功_（ W _）。

我们可以将上面的方程改写为：

W = P ₁ A ₁ L ₁ ‐ P ₂ A ₂ L ₂ + mgh ₁ ‐ mgh ₂

EK ₂ - EK ₁ = P ₁ A ₁ L ₁ - P ₂ A ₂ L ₂ + mgh ₁ - mgh ₂

1⁄2 mv ₂ ² ‐ 1⁄2 mv ₁ ² = P ₁ A ₁ L ₁ ‐ P ₂ A ₂ L ₂ + mgh ₁ ‐ mgh ₂

在横截面 A1 处_流过距离 L1 的流体质量_{等于在横截面A2处}流过距离 L2 的流体质量_。质量为_m的流体_的体积为 A1L1_和A2L2 _，其中A1L1 ₌ A2L2 （L2_比L1长_）。

现在我们代入，或者说，我们将上述方程中的 m 替换为 m = ρ AL：

这就是伯努利方程。我们根据动能原理推导出了伯努利方程，因此它是能量守恒定律的一种形式。

信息：

P = 压力

ρ = 流体密度

v = 流体流速

g = 重力加速度

h = 流量管/管道距地面的高度

上述伯努利方程的左右两边可以指代流管上的任意两点，因此我们可以将上述方程改写为：

该方程表明，方程中各量的总和在整个流动管中具有相同的值。

现在让我们回顾一下伯努利方程的一些应用情况。

静止流体的伯努利方程

伯努利方程的一个特例是静止流体（静流体）。当流体处于静止状态时，其速度为零。因此，v₁ ₌ v₂ ₌ 0。对于静止流体，伯努利方程可以表示为：

如果 h₂ _- h₁ ₌ h，则该方程可以写成：

p ₁ − p ₂ = ρ g (h ₂ − h ₁ )

p ₁ − p ₂ = ρ gh

伯努利方程适用于相同高度的流动管或管道

如果流动管或管道的高度相同，则伯努利方程变为：