连续性方程材料
试着慢慢打开水龙头，同时观察水流。水龙头停止转动后，用手部分堵住水龙头。现在比较一下，部分堵住水龙头和不堵住水龙头时，哪种情况下水流更大？如果你有一根平时用来浇花的软管，让水流过它。用手或手指部分堵住软管。堵住的软管部分越多，水流速度就越快。相反，如果软管没有被堵住，水流速度就会变慢。这是为什么呢？要理解这一点，请学习一下连续性方程。
流线和流管
首先，我们来了解一下流线和流管的概念。这个概念很重要，因为它有助于理解连续性方程。
流线型
请看下图，蓝线是流线。
在稳定流动中，流体中某一点（例如A点）的每个质点的速度保持不变。当流体经过B点时，其速度可能会发生变化。然而，到达B点后，后面的流体质点仍然以与前面的流体质点相同的速度流动。到达C点时也是如此，以此类推。流线是连接A、B和C三点的曲线。
流管
本质上，我们可以绘制流体流动中每一点的流线。如果考虑稳态流体流动，若干条流线以一定角度穿过假想的表面积（假想表面面积）即可形成一个流动管。流体质点之间互不相交，始终平行，因此流动管类似于一个形状始终不变的管道。流体从管道一端进入，最终从另一端流出。
借方
流量是指在一定时间间隔内流过特定横截面的流体体积。用数学公式表示如下：
为了帮助你更好地理解，我们举个例子。假设流体在管道中流动。管道通常是圆柱形的，具有特定的横截面积。管道也有一定的长度。
当流体在管道中流动至长度 L 时，管道中流体的体积为 V = AL（V 为流体体积，A 为横截面积，L 为管道长度）。由于流体在管道中沿长度 L 流动期间需要一定的时间间隔，因此我们可以说流体的流量大小为：
因为 v = s/t = L/t —> L = vt，所以上面的等式变为：
因此，当流体在一定时间间隔内流经具有一定横截面积和长度的管道时，流体流量 (Q) 的大小等于横截面积 (A) 乘以流体流速 (v)。
连续性方程
考虑如下图所示的不同直径管道中的流体流动。
这张图显示了流体从左到右的流动方向（流体从大直径管道流向小直径管道）。虚线是流线。
图片说明：A1 = 大直径管道截面的横截面积，A2 = 小直径管段的横截面积，v1 = 大直径管道段内的流体流速，v2 = 小直径管道段内的流体流速，L = 流体流过的距离。
在流体动力学导论中，我们解释了流体动力学研究的是不可压缩、无粘性、非湍流且稳定的流体的流动。在稳定流动中，流体质点在某一点的速度与经过该点的其他流体质点的速度相同。流体流动也不会相互交叉（流线平行）。因此，从管道一端进入的流体质量必须等于从另一端流出的流体质量。如果一定质量的流体进入直径较大的管道，那么流出直径较小的管道的流体质量将保持不变。
现在，请看上面的管道图片。请观察管道直径较大的部分和直径较小的部分。
在一定的时间间隔内，一定量的流体流过一段直径较大的管道（A）。1）至 L1 (L1 = v1 t）。流体的体积为 V1 = A.1 L1 = A.1 v1 t. 在同一时间间隔内，另一部分流体流经直径较小的管道段 (A)。2）至 L2 (L2 = v2 t）。流体的体积为 V2 = A.2 L2 = A.2 v2 t.
不可压缩流体的连续性方程（不可压缩的)
首先，我们考虑不可压缩流体的情况。在不可压缩流体中，流体的密度或质量在其流经的每一点都保持不变。横截面积为 A 的管道中流动的流体的质量为1 在一定时间间隔内（大管径管道）为：
同样，横截面积为 A 的管道中流动的流体质量2 在一定时间间隔内（小管径）为：
考虑到在稳定流动中，流入流体的质量与流出流体的质量相等，那么：
m1 =米2
ρA1 v1 t = ρ A2 v2 t（流体密度和时间间隔相同，因此它们相互抵消）
A1 v1 = A.2 v2
因此，对于不可压缩流体，连续性方程适用：
A1 v1 = A.2 v2 — 公式 1
信息：
A1 = 横截面面积 1， A2 = 横截面面积 2， v1 = 横截面 1 处的流体流速， v2 = 横截面 2 处的流体流速， A v = 体积流量 V/t，也称为排放量
公式 1 表明，沿管道或流道各点的体积流量（也称流量）始终相同。管道横截面积减小时，流体流量增大；反之，管道横截面积增大时，流体流量减小。
当我们半堵住水龙头时，水流速度会比水龙头半开时更快。这是因为水龙头半开时，其横截面积减小，从而增加了水流速度（流体流动速度加快）。软管的情况也是如此。然而，需要注意的是，无论水龙头是否半开，沿水流方向各点的流量或体积流量都保持不变。因此，发生变化的是流体的流速。
那么，河流中的水流情况如何呢？河流中较深的河段横截面积比浅的河段大，因此深水区的水流速度比浅水区慢。如果你看到河水非常平静，那就说明这条河很深。但如果河水突然变得湍急，那么那一段肯定很浅。然而，无论是在河流的深水区还是平静的河段，水的流量始终保持不变。
可压缩流体的连续性方程（可压缩)
对于可压缩流体而言（可压缩流体的密度并非始终保持不变。换句话说，流体的密度会随着压缩而改变。如果我们从不可压缩流体的方程中消去流体密度，那么在这种情况下，流体密度仍然包含在方程中。以之前推导出的方程为指导，我们来推导可压缩流体的方程。
考虑到在稳定流动中，流入流体的质量与流出流体的质量相等，那么：
m1 =米2
ρA1 v1 t = ρ A2 v2 t
流体流动的时间间隔相同，因此可以消除。方程变为：
ρA1 v1 = ρ A2 v2 → 公式 2
这是可压缩流体的方程。唯一的区别在于流体的密度。当流体被压缩时，其密度会发生变化。相反，当流体不可压缩时，其密度保持不变，因此可以抵消掉。
例题1：
水以 2 米/秒的速度流过直径为 10 厘米的管道。求水的流量。
讨论
已知：
管道直径 = 10 厘米（这是管道的内径）
管道半径 (r) = 5 厘米 = 0,05 米
水的v = 2 米/秒
问： 借方
回答 ：
Q = A v
Q = ( π r2) (2 米/秒)
Q = (3,14)(0,05 米)2 (2 米/秒)
Q = (3,14)(0,0025 米)2（2 米/秒）
Q = 0,0157 米3 /秒
例题2：
一根直径为 20 厘米的水管与另一根直径为 10 厘米的水管相连。如果直径为 20 厘米的水管中的水流速度为 4 米/秒，那么直径为 10 厘米的水管中的水流速度是多少？
讨论
已知：
直径 1 = 20 厘米 (r1 （= 10 厘米 = 0,1 米）
v1 = 4 m / s
直径 2 = 10 厘米 (r2 （= 5 厘米 = 0,05 米）
问：v1
回答 ：
Q1 = Q2
A1 v1 = A.2 v2
（πr12) (4 米/秒) = (π r22）（v2)
（0,1 M）2 （4 米/秒）= （0,05 米）2 (v2)
（0,01米2)(4 米/秒) = (0,0025 米2（v）2)
（0,04米3 /s) = (0,0025 米2（v）2)
v2 = 16 m / s
